非线性代数方程组的解法

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1、第二章非线性代数方程组的解法从数学的角度，非线性问题的求解可以归纳为偏微分方程的边值问题和初值问题。大部分静力问题属于边值问题，动力响应分析、热传导和流体力学问题则是初值问题。以下2.1至2.3节为非线性方程的边值解法，节2.4简单介绍非线性方程的初值解法。在非线性力学中，有多种类型的非线性问题，如材料非线性、几何非线性、接触非线性等。无论是哪一类非线性问题，经有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组：ψ1(δ1δ2Lδn)=0ψ2(δ1δ2Lδn)=0LLψn(δ1δ2Lδn)=0其中δ,δ,L,δ是未知量，ψ,ψ,L,ψ是δ,δ,L,δ的非线性函数，现引用矢量记号12n

2、12n12nTδ=[δ1δ2Lδn]Tψ=[ψ1ψ2Lψn]上述方程组可表示为ψ(δ)=0还可以将它改写为ψ(δ)≡F(δ)−R≡K(δ)δ−R=0K(δ)是一个n×n的矩阵，其元素k是矢量δ的函数，R为已知矢量。在位移有限元中,δij代表未知的结点位移，F(δ)是等效结点力，R为等效结点荷载，方程ψ(δ)=0表示结点的平衡方程。在线弹性有限元中，线性代数方程组Kδ−R=0可以毫无困难地求解，但对非线性方程组ψ(δ)=0则不行。一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。为了使这一系列线性解收敛于非线性解，曾经有过许多方法，但它们都有一定的局限性。

3、某一解法对某一类非线性问题有效，但对另一类问题可能不合适。因而，根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一个极重要的问题。本章将介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。2.1迭代法前面已经提到，目前求解非线性方程组的方法一般为线性化方法。若对总荷载进行线性化处理，则称为迭代法。2.1.1直接迭代法对非线性方程组K(δ)δ−R=0(2.1)0设其初始的近似解为δ=δ，由此确定近似的K矩阵00K=K(δ)根据式〈2.1〉可得出改进的近似解710−1δ=(K)R重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1次近似解的迭代公式为iiK=K(δ)(2.2)i+1i−1δ=(K)R

4、直到iii−1Δ=−δδδ(2.3)变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。在迭代过程中，得到的近似解一般不会满足〈2.1〉式，即iiiψ(δ)≡K(δ)δ−R≠0ψ(δ)作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。对于一个单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如图2.1和图2.2所示，它们分别给出F~δ为凸和凹曲线时的迭代过程。可以看出K(δ)就是过曲线上点(δ,F(δ)与原点的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通过矩阵K耦合，不仅收敛速度慢，而且迭代过程不一定收敛。迭代次数(a)位移初值较小时的迭代过程迭代次数(b)位移初值较大时的迭代过程

5、图2.1F~δ为凸曲线时的迭代过程8迭代次数(a)位移初值较小时的迭代过程迭代次数(b)位移初值较大时的迭代过程图2.2F~δ为凹曲线时的迭代过程2.1.2Newton—Raphson方法Newton—Raphson方法是求解非线性方程组ψ(δ)≡F(δ)−R=0(2.4)的一个著名方法，简称Newton法。以下将介绍这种方法。i−1设ϕ(δ)为具有一阶导数的连续函数，δδ=是方程（2.4）的第i-1（i=1,2,…）次近似解。若iii−−−111ψψ=()()δ≡−FδR≠0希望能找到一个更好的、方程（2.4）的近似解为ii−1iδδδ==+Δδ(2.5)i−1i−1将（2.5）代

6、入（2.4），并在δδ=附近按一阶Taylor级数展开，则ψ(δ)在δ处的线性近似表达式为ii−−11∂ψiiψψ=+Δ()δ∂δ其中∂∂ψψi−1()()=i−1δδ=∂∂δδ⎧ψ1⎫⎪⎪∂ψ⎪ψ2⎪⎡∂∂∂⎤()≡⎨⎬⎢L⎥∂δM∂δ∂δ∂δ⎪⎪⎣12n⎦⎪ψ⎪⎩n⎭9引入记号ii∂ψiKK=≡()()δTT∂δi假定δ为真实解，则由iii−−11ii−1iψδ()(=+ψδΔδ)=+ΔψKδ=0Ti解出修正量Δδ为iiii−−111−−11−i−1Δ=−δ()Kψ=()KR(−F)(2.6)TTi由于这样确定的Δδ仅考虑了Taylor级数的线性项，因而按式（2.6）和（2.5）

7、求出的新解仍然是近似解。这样，Newton法的迭代公式可归纳为iiii−−111−−−11i−1Δ=−δ()Kψ=()KR(−F)TTiii−−−111∂∂ψFK==()()(2.7)T∂∂δδii−1iδδ=+Δδ对于单变量的非线性问题，其迭代过程见图2.3和2.4，可以看出K(δ)是F~δ曲线T上通过点(δF(δ))的切线斜率Newton法的收敛性是好的，但对某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭代过程中K可能是奇异或病态的，于是K的求逆就会出