上海市延安中学2016届高三第二学期适应性考试（三模）数学（理）试题

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1、高三年级数学(理科)试卷一、填空题：本题满分56分，每小题4分1.的展开式中，的系数为．2.已知集合，则用列举法表示集合．3.若，则．4.函数的反函数是．5.在极坐标系中，已知点和，则．6.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为．7.在复平面上，已知复数与的对应点关于直线对称，且满足，则．8.设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是．9.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．10.已知随机变量的取值为0，1，2，若，，则．1

2、1.已知函数，若对任意均有，则的值等于．12.如图所示，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，则此四面体的体积为．13.已知等差数列的公差，且，若时，则数列的前项和为取得最小值时的值为．14.已知为单位圆上的弦，为单位圆上的点，若的最小值为(其中)，单位圆上的运动时，的最大值为，则的值为．二、选择题(本题满分20分，每小题5分.)15.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若垂直于同一平面，则与平行B．若平行于同一平面，则与平行C．若不平行，则在内不存在与平

3、行的直线D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面16.已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则的大小关系为()A．B．C．D．17.“”是“函数在区间上递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18.已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是()A．B．C．D．三、解答题(本题满分74分)19.(本小题满分12分)如图所示，长方体，底面是边长为的正方形，，为中点.(1)求四棱锥的体积；(2)若点在正方形内(包括边界)，且三棱锥体积是四棱锥体积的，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形.20.(本小题满分14

4、分)已知函数，若函数的图象与函数的图象关于轴对称.(1)求函数的解析式；(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点的圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线()的一部分，，且恰好等于圆的半径.(1)若米，米，求与的值；(2)若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.22.(本小题满分16分)定义：直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.(1)设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程.(2)若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程.(3

5、)是否存在点，使过点的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由.23．(本小题满分18分)设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.(1)若等比数列为阶“期待数列”()，求公比；(2)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列()，求该数列的通项公式；(3)记阶“期待数列”的前项和为.参考答案一、填空题1.102.3.44.5.6.7.38.9.9610.11．12.213.1014.二、选择题15．D16．C17．C18．D三、解答题19．解：(1).(2)设点到的距离为，因为点到平面的距离为1，所

6、以，所以，满足要求的点的轨迹是中点和中点的连线段.20．解：(1)设函数图象上任意一点，则点关于轴对称的点的坐标为，即在上有解，所以.21．解：(1)因为圆的半径为，所以，，令，得圆，令，得，所以，即，又，得.(2)由题意得：对恒成立，所以恒成立，当，即时，，所以，解得.22．解：(1)因为圆的半径为1，所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于，设直线方程为，则，解得，所以所求直线方程为.(2)设所求圆方程为或，又直线关于圆的圆心距单位，所以圆心到直线的距离为，即，解得或，所以圆方程为或.(3)解法1：设存在点，过点的任意两条直线为和，由，，，，得，则恒成立或者恒成立，即或，求得和

7、.解法2：当圆心距单位时，两互相垂直的直线分别过圆心，交换两直线，则由圆心距单位相等可得，设，则有，即解得或当时，设直线，即，所以直线关于圆的圆心距单位为，此时直线，即，所以直线关于圆的圆心距单位为，同理可验证也满足条件.23．解：(1)若，由①得：，得，不合题意，舍去；若，由①得：，得，由②得：或.(2)设等差数列的公差是，因为，所以，因为，所以，则，，两式相减得，即，又，得，(3)记中非负项和为，负项和为，则，，得，因为，所以.若存在，使，则，，，，，，，，且，若