第5、6课时函数的值域

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1、第5、6课时函数的值域教学目标：使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.教学重点：联系图像求值域.教学难点：联系图像求值域.教学过程：[例1]求函数y＝x2在下列范围内的值域：（1）x∈[1，2]（2）x∈[－1，2]（3）x∈[－3，2]（4）x∈[a，2]（5）x∈[T，T＋2][例2]求函数y＝的值域.解：令t＝－x2＋2x＋3，则：y＝且t∈[0，4]∴所求函数的值域为：[0，2][例3]求函数y＝2x－3＋的值域.分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.解：∵4x－13≥0∴x∈[，＋∞）令t＝则得：x

2、＝∴y＝t2＋t＋∴y＝（t＋1）2＋3∵x≥∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[，＋∞）[例4]求函数y＝－的值域.解：y＝（＋2）－｜－2｜＝∴y∈[0，4][例5]求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.分析：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC-

3、4-－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3][例6]求函数y＝的值域.解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：y＝＝＝＋＝＋＝－＋1令t＝∵x∈R∴t∈(0，1]∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根据二次函数的图象得当t＝时ymin＝当t＝1时，ymax＝5∴函数的值域为y∈[，5][例7]求下列函数的值域.（1）y＝（2）y＝（k≠0，k是常数）（3）y＝（a、b是常数，a≠0）（4）y＝（a、b、k是常数，a、k≠0）[例8]求函数y＝（x≠0）在下列定

4、义域范围内的值域.（1）x∈（1，2）；（2）x∈（0，2）；（3）x∈（－1，2）；（4）x∈（2，+∞）；（5）x∈（－2，+∞）[例9]求下列函数的值域：（1）y＝；（2）y＝解：（1）∵y＝＝2－∴函数的值域为{y︱y≠0}-4-（2）∵y＝－＋∵≠0∴y≠－∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）[例10]求函数y＝的值域.解：由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1即（3－y）x2＝2y＋1若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的.∴y≠3得：x2＝∵x2≥0∴≥0解得：－≤y＜3∴函数值域为y∈[－，3）[例11]求下列函数的值域

5、：（1）y＝；（2）y＝[例12]求函数y＝的值域.解：由y＝得x∈R且可化为：（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0∴当y≠时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0∴y2＋3y－4≤0∴－4≤y≤1且y≠又当y＝时，2（1＋）x＋（＋3）＝0得：x＝－，满足条件∴函数的值域为y∈[－4，1]-4-评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法

6、求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.课后作业：-4-