数学九年级教材下册变式题

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1、九年级下册·课本亮题拾贝26.1二次函数题目如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?(人教课本P1810题)分析阅读理解题意,抓住AC与BD的位置关系(AC⊥BD)和数量关系(AC+BD=10)去表达四边形ABCD的面积.解设AC与BD相交于O,AC=x,则BD=10-x(0<x<10),因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,所以四边形ABCD的面积===.因此,当AC=x=5,BD=5时,四边形ABCD的面积最大,为.戊点评由于多边形的

2、面积一般是转化为三角形的面积解决的,所以当题目文字和图形中有了垂直关系时,自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半(底与高垂直),借助于主元思想,设AC=x,则BD=10-x,则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量.演变变式1(图形变式)已知平面上两条线段AC、BD互相垂直,AC+BD=10,问当AC、BD的长是多少时,多边形ABCD的面积最大?并画出此时多边形可能具有的形状.ABC(D)ABCDBACDBACDCABDO分析由于四边形具有对角线垂直且相等的特征,所以作出其图形形状(含特殊情况)如下:DBAC

3、O甲乙丙丁解如图甲、乙、丙、丁,问题显然.如上图戊,设AC的延长线与BD相交于O,AC=x,则BD=10-x,(0<x<10),因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,所以四边形ABCD的面积S=S△ABD-S△CBD====.因此,当AC=x=5,BD=5时,四边形ABCD的面积最大,为.CABD说明:如图所示,构成的多边形ABDC,就没有最大值.根据解答,将题目中的关系特征抽象出来,即得:变式2(关系变式)18已知x、y都是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.这是一个有着十分广泛应用的

4、结论(均值定理).由x+y=S,得y=S-x,代入xy中有,xy=x(S-x)=-x2+Sx=-,结论正确.变式3(问题推广)如图,四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a,AC+BD=m,问当AC、BD的长等于多少时,四边形ABCD的面积最大?DBACEFOa解过A、C作AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD·AE+BD·CF=BD(AE+CF)=BD(AO·sina+CO·sina)=BD(AO+CO)sina=BD·AC·sina,∴当BD=AC=m时,S最大,

5、为.26.2用函数观点看一元二次方程题目抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),求这条抛物线的对称轴.(人教课本P234题)解∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),∴解得∴抛物线的方程为y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),因此,所求抛物线的对称轴为x=1.另法∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),∴抛物线的方程可设为y=a(x+1)(x-3),a≠0,即y=-a(x2-2x-3

6、)=a(x-1)2-4a(a≠0),所以,抛物线的对称轴为x=1.法三由于抛物线是关于对称轴对称的,且其对称轴x=h与x轴垂直,∴对称轴必过点A(-1,0)、B(3,0)的中点,为h-(-1)=3-h,得.点评本题已知简洁,结论明了,似乎没有什么可挖掘或拓广的.其实题目乃平中见奇,内涵丰富,不但解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还需分a>0和a<0讨论.适当改变条件,可得出许多新颖的题目来(如变式4这种开放题).演变变式1已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0)

7、,与y轴的公共点是C,顶点是D.(1)若△ABC是直角三角形,则a=;(2)若△ABD是直角三角形,则a=.解在草稿纸上画出大致图象,可知(1)若△ABC是直角三角形,则直角顶点只能是C,∴C(0,c),即C(0,-3a),于是(-3a)2=1×3,解得a=±1.(2)若△ABD是直角三角形,则直角顶点只能是D,∴D(0,-4a),18于是由2︱(-4a)︱=4,解得a=±.变式2已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),与y轴的公共点是C,顶点是D.问是否存在非零常数a,使A、B、C、D

8、在一个圆上?解假设存在非零常数a,使A、B、C、D在一个圆上,则圆心E必在抛物线的对称轴x=1上,于是令E(1,m),则︱DE︱=︱m+4a︱,︱AE︱=︱BE︱=,︱CE︱=.由E到A、B、C、D的距离相等,得︱m+4a︱==,经求解知,不存在非零常数a,使上式成立,因此表明,不存在非零常数a,使A、

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