王建民 导数及其应用最值 教案

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1、导数及其应用化归与转化教学目标1.使学生掌握导数的基本研究方法,能合理利用导数单调性和最值进一步熟悉恒成立问题的两种方法，分离参数优先和分类讨论的方法2.掌握对于两个函数间的关系，转化为最值的方法3.在解决问题的过程中,提高学生分析问题和解决问题的能力、计算能力,加强方法的选择和知识的综合应用能力,提高运用数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的意识.4.在问题的研究和解决中增强自信和自我调节能力,培养学生勇于克服困难的意志品质重点:学生掌握用最值转化为最值的方法问题，提高分析问题和解决问题的能力难点:等价转化、分类讨论思想在数学解题中

2、的合理运用教学过程：一、课堂引入例1、设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x.f(x)-h(x)≥0在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;解法一：（1）f(x)-h(x)≥0可得-mlnx≥-x即记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.求得当时;;当时，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.解法二：设只需证最小值大于零分类讨论即可小结：1.对于恒成立问题，分离参数法是常见方法。即将参数与变量分离，即化为的形式；2.恒成立问题，转化为最值问题二、典型例题第5页例2.已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的

3、取值范围.解法一：设（1）当时，即时，单调递增（2）当时，即时，单调递减（3）当时，即时，单调递减；时，单调递增无解综上所述：小结：对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到。变式练习（1）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.（2）若在上存在一点，使得>成立，求的取值范围.（3）若在上任意点，使得成立，求的取值范围.（4）若在上任意点，使得>成立，求的取值范围.（5）若在上存在一点，使得在的下方，求的取值范

4、围.第5页（6）若，求的取值范围.（7）若存在，求的取值范围.（8）若存在有单增区间，求的取值范围.（9）若存在不单调，求的取值范围.小结：1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。2、转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓。例3．已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函

5、数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解：（Ⅱ）对函数g(x)求导，得因此，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又，，即当时有任给，，存在使得，则第5页即解式得或解式得又，故：的取值范围为小结：1.思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。2.转化要细致、到位，恒成立和存在问题都与最值有关。练习1.设（1）若，求过点（2，）的直线方程；（2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围。（）2.已知函数。（1）试求函数的单调区间；（2），若在上至少存在一点，使成立，求实

6、数的取值范围。3：已知函数（I）求在区间[1，3]上的最小值；（II）证明：对任意成立.4.已知，函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间和值域；（Ⅱ）设若，总存在，使得成立，求的取值范围．第5页第5页