函数的导数及其综合应用

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1、§10．导数的综合应用【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．题型一：利用导数定义求极限例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）；（

2、2）解：（1）　　　　（2）　　题型二：利用导数几何意义求切线方程例2．已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。解：设直线与的切点分别为，又或，的方程为：或。第14页共14页题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。例3、函数的值域是_____________.解答过程：由得，，即函数的定义域为.，又，当时，，函数在上是增函数，而，的值域是.例4．已知函数的切线方程为y=3x+1。（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解

3、：（1）由过的切线方程为：①②而过故∵③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴（2）当第14页共14页又在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。依题意在[－2，1]上恒有≥0，即①当；②当；③当综上所述，参数b的取值范围是例5．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函

4、数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.（Ⅱ），令，得.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此，函数在处取得极小值，且.第14页共14页要使，必有，可得.由于，故.②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（

5、III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组或由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.例6：已知(1)当时,求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点,求a的取值范围.解:(1)∵∴第14页共14页∵,∴又∵二次函数的图象开口向上,∴在内,故在内是减函数.(2)设极值点为则当时,∵∴在内在内即在内是增函数,在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点,且是极大值点.当时,同理可知,在内且只有一个极值点,且是极小值点.当时,由(1)知在内没

6、有极值点.故所求a的取值范围为题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。例7：所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设△QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出的最小值；O0OPMBQxyA(6, 0)（3），试求出点P横坐标的取值范围.解：（1）切线PQ的方程（2）令y=0得由解得.又0

7、用导数研究方程的根例8：已知平面向量=(,－1).=(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.解：(1)∵⊥，∴=0即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-3)·=0∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=

8、(t2-1)=(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f