导学案015导数应用(一)

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1、济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号014班级：高三（）姓名导数的应用（一）考纲要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).考情分析1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.教学过程基础梳理一、函数的单调性与导数1．函数f(x)在某个区间(a

2、，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求；(2)在定义域内解不等式；(3)根据结果确定f(x)的单调区间．二、函数的极值与导数1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在

3、点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．双基自测1．若函数f(x)＝＋＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)A．2　　　　　　　　　　B．3济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号014班级：高三（）姓名C．4D．52．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)A．增函数B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增3．函数

4、f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个4函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．典例分析考点一函数的单调性与导数[例1]　(2011·天津高考改编)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t>0时，求f

5、(x)的单调区间．变式1.(2012·舟山模拟)已知函数f(x)＝x2＋3x－2lnx，则函数f(x)的单调减区间为________．方法总结：求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根．(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．考点二函数的极值与导数济宁学院附

6、属高中高三数学第一轮复习导学案编号014班级：高三（）姓名[例2]　(2011·安徽高考)设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．变式2.(2012·青田模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)A．(0,1)　　　　　　　　　B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.方法总结：求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)

7、由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.考点三函数的单调性与极值的综合问题[例3]（理）　(2012·兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．变式3.(2012·台州调研)f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是图中的(　　)济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号014班级：高三（）姓名变式4.(2012·海淀模拟)函数f(x)＝(a∈R)．(1)若