4 导数及其应用(文)

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1、第四讲导数及其应用（文）★★★高考在考什么【考题回放】1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（B）A．B．C．D．2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为AA．B．C．D．4．函数，已知在时取得极值，则=（B）A.2B.3C.4D.55．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．326．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．37．设a为实数,函数(Ⅰ)求f(x)的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变

2、化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴f(x)的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有f(x)>0，取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y=f(x)与轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当f(x)的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点★★★高考要考什么1．导数的几何意义：（

3、1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；2．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数3．求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法,检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。4．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最

4、大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★突破重难点【范例1】已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，，即解得.∴.令，得.若，则，故f(x)在上是增函数，f(x)在上是增函数.若，则，故f(x)在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M

5、的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.解：（I）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（II）我们有．列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．【点晴】本小题主要考查同角三角

6、函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．【范例2】（湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边

7、附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．变式：（全国一文）设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．解：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当