2-4导数及其应用

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1、专题2第4讲导数及其应用一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)A．－1B．－2C．2D．0[答案]　B[解析]　f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(1)＝4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2要善于观察，故选B.2．(2011·江西文，4)曲线y＝ex在点A(0,1)处得切线斜率为(　　)A．1B.2C．eD.[答案]　A[解析]　y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e0＝1.3．(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3

2、x＋5D．y＝2x[答案]　A[解析]　y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]　C[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0得x＝9，x∈(0,9)时，y′>0，x∈(0，＋∞)时，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最

3、大值，选C，属导数法求最值问题．5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.[答案]　B[解析]　∵y′＝＝，∴y′

4、x＝＝.(理)(2011·湖南理，6)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)A.B．1C.D.[答案]　D[解析]　S＝∫－cosxdx＝sinx＝sin－sin＝.6．(2011·山东淄博)若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)A．af(a)>bf(b)B．af(a)

5、af(b)bf(a)[答案]　A[解析]　令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)>－f(x)，得：xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数．因为a>b，所以af(a)>bf(b)．故选A.7．(2011·江苏盐城)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)A．0≤a<1B．－10，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.则∈(0,1

6、)，∴0

7、1)>0，∴－2a＋b>0，∴f(－1)<0，故C选项也成立；所以，答案选D.(理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克[答案]　D[解析]　M′(t)＝－ln2·2－，∴M′(30)＝－ln2＝－10ln

8、2，∴M0＝600，∴M(t)＝600·2－，∴M(60)＝600·2－2＝150.二、填空题9．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.[答案]　ln2－1[解析]　(lnx)′＝，令＝，得x＝2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b＝ln2－1.10．(2011·山东烟台)曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为________．[答案]　[解析]　设直线l平行于直线y＝－x－1，且与