人教选修1-1(A文)导数在研究函数中的应用1

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1、导数在研究函数中的应用要点精讲用导数的方法研究函数的单调性，主要根据导数的正负来判断函数的增减情况；函数在是点的导数为0是函数取到极值的必要不充分条件，还需考察两边导数的符号才能确定是否在这点取到极值；函数在闭区间上的最大(小)值通过比较极值和区间端点的函数值来求得．典型题解析【例1】设函数是定义在上的奇函数，当时，（a为实数）．（1）当时，求的解析式；（2）若，试判断在（0，1］上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当时，有最大值．【解】（1）设，则为奇函数，∴∴（2）即在上是单调递增的（3）当时，在单调递增∴解得：（不合

2、题意）当，则如表可知x＋0－最大值,∴存在，使函数在（0，1）上有最大值.【例2】求函数在[0，2]上的最大值和最小值．【分析】本题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．解题突破口：本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题,基本思路为：1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根；（3）检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较

3、极值与区间端点处函数值的大小．【解】∵令化简为解得当单调增加；当单调减少．所以为函数的极大值．又因为所以为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值．【例3】(2004年湖南卷文史类)如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0

4、即（Ⅱ）令解得当从而在区间上是增函数；当从而在区间上是减函数.所以当时，有最大值为【例4】已知求函数的单调区间．【分析】与a的取值有关，应正确应用分类讨论思想方法与解不等式的技能．利用在D内单调递增．在D内单调递减解决此类问题．【解】（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0．所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．（II）当由所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III）当a<0时，由2x+ax2

5、>0，解得0－．所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数．【例5】设曲线≥0）在点M（t,c－1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）．（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值．【分析】已知切点求切线，关键是求切线斜率，也就是求导．求三角形面积的最大值，首先必须建立面积的目标函数S(t)，然后利用导数方法研究其最大值．在前后两次求导中，都必须熟练掌握求导的有关公式．【解】（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的

6、方程为即．（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）==从而∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=规律总结解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．