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1、《导数及其应用》(文科)(满分:150分时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确)1.函数的导数是()(A)(B)(C)(D)2.函数的一个单调递增区间是()(A)(B)(C)(D)3.已知对任意实数,有,且时,,则时()A.B.C.D.4.若函数在内有极小值,则()(A)(B)(C)(D)5.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()A.B.C.D.6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.B.C.D.7.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()8.
2、已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为()A.B.C.D.9.设在内单调递增,,则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是()(A)y(B)(C)(D)O1234x二.填空题(本大题共4小题,共20分)11.函数的单调递增区间是____.12.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则__.13.点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是14.已知函数(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是.(2
3、)若函数在上总是单调函数,则的取值范围.(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数的取值范围是.三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?16.设函数在及时取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.17.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,.求(Ⅰ)
4、求点的坐标;(Ⅱ)求动点的轨迹方程.18.已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若关于的方程有三个不同的实根,求实数的取值范围.19.已知(1)当时,求函数的单调区间。(2)当时,讨论函数的单调增区间。(3)是否存在负实数,使,函数有最小值-3?20.已知函数,,其中.(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.【文科测试解答】一、选择题1.;2.,选(A)3.(B)数形结合4.A由,依题意,首先要求b>0,所以由单调性分析,有极小值,由得.5.解:与直线垂直的直
5、线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A6.(D)7.(D)8.(C)9.(B)10.B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT点B处的切线为BQ,TyBA如图所示,切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角小于Q切线AT的倾斜角O1234x所以选B11.12.3213.14.(1)三、解答题15.解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.故长方体的体积为从而令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x
6、)<0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3。16.解:(1),因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.(2)由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.17.解:(1)令解得当时,,当时,,当时,所以,函数在处取得极小
7、值,在取得极大值,故,所以,点A、B的坐标为.(2)设,,,所以,又PQ的中点在上,所以消去得.另法:点P的轨迹方程为其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由,得a=8,b=-218.解(1)………………………2分∴曲线在处的切线方程为,即;……4分(2)记令或1.…………………………………………………………6分则的变化情况如下表极大极小当有极大值有极小值.………………………10分由的简图知,当且仅当即时,函数有三个不
8、同零点,过点可作三条不同切线.所以若过点可作曲线的三条不同切线,的范围是.…………14分19.(1)或递减;递增;(2)1、当递增;2、当递增;3、当或递增;当递增;当或递增;(3)因由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”:1、当递增,,解得