第一章导数及其应用

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1、第一章导数及其应用一、主要应用方向：（1）切线问题（2）求值问题（极值，最值）（3）面积问题二、知识点归类：1导数的概念：导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率导数的物理意义，通常指物体运动的瞬时速度注意：切线上的已知点是在曲线上还是在曲线外强调：切点既在曲线上也在切线上2导函数与一点处的导数f’(x0)的关系：是一个函数，表示函数f(x)在某给定区间（a,b）内的导函数，此时是在（a,b）上x的函数，即是在（a,b）内点x处的导数f’(x0)是一个数值，表示f(x)在x=x0处的导数值，即f’(x0)是函数在某一点的导数。3复合函数求导（1）求复合函数的

2、导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量（2）要分清每一步的求导是对哪个变量求导注意：开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后，中间步骤可省略（换元）强调：掌握几种常见函数复合成的复合函数求导（几种常见函数的复合函数例如可以相乘，根号，分式，指对数复合等）4函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0,则f(x)为增函数，若0,则f(x)为减函数增函数0恒成立减函数0恒成立注意：0是增函数的充分不必要条件强调：求单调区间时0或0都对，因为一点不影响其单调性，但一般都是大于0（书上例题），多个单调区间用逗号，不能用并集符号。单调区间

3、是定义域的子集5求函数的极值，单调区间步骤：（1）求（2）令=0例如x=x0（3）列表（4）结论x……X0……0增（减）极大（小）值增（减）注意：可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点例如y=x3(极值点导数为零)导数为零的点是极值点的必要不充分条件强调：极值和最值的区别和联系函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体概念。函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只有一个。如果连续函数在开区间（a,b）内只有一个极值点，那么极值也是最值。6利用导数求函数的最值步骤（1）求（可导函数）（2）令=0例如x=x1，x=x2(3)

4、f(x1)f(x2)与端点处的函数值比较大小确定最值注意：在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=

5、x

6、,在x=0处不可导，但它是最小值点强调：生活中的优化问题（利润最大，用料最省，效率最高等）7曲边梯形的面积定义：直线x=a,x=b(ab)y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形定积分的几何意义：曲边梯形的面积——以直代曲求曲边梯形的面积的步骤：（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限注意：位于X轴上方时，定积分

7、的取值为正值位于X轴下方时，定积分的取值为负值。强调：(1)曲边梯形面积可直接求或者分开求（有的分好多部分）（2）积分上下限。大部分题目以X为积分变量，但也有以Y为积分变量（需要转化成X是Y的函数）8微积分基本定理重点是求原函数计算9定积分的简单应用（1）在几何中的应用：求平面图形的面积（2）在物理中的应用：变速直线运动的路程变力做功第一章导数及其应用一、主要应用方向：（1）切线问题（2）求值问题（极值，最值）（3）面积问题二、知识点归类：1导数的概念：导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率。导数的物理意义，通常指物体运动的瞬时速度。2导函数与一点处的导数

8、f’(x0)的关系：是一个函数，f’(x0)是一个数值。3复合函数求导（1）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量（2）要分清每一步的求导是对哪个变量求导4函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0,则f(x)为增函数，若0,则f(x)为减函数增函数0恒成立减函数0恒成立注意：0是增函数的充分不必要条件5求函数的极值，单调区间例f(x)定义域是(a,b)步骤：（1）求（2）令=0得x=C（3）列表（4）结论x（a,c）c(c,b)0增（减）极大（小）值增（减）极值点导数为零6利用导数求函数的最值步骤（1）求（可导函数）（

9、2）令=0例如x=x1，x=x2(3)f(x1)f(x2)与端点处的函数值比较大小确定最值7曲边梯形的面积定义：直线x=a,x=b(ab)y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形定积分的几何意义：曲边梯形的面积——以直代曲求曲边梯形的面积的步骤：（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限8微积分基本定理9定积分的简单应用（1）在几何中的应用：求平面图形的面积（2）在物理中的应用：变速直线运动的路程变力做功