第一章 导数及其应用

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1、第一章导数及其应用6/11/20216/11/20216/11/20216/11/20216/11/20216/11/20216/11/20212．导数的意义(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加

2、速度a，即a＝v′(t)．6/11/20213．利用导数的几何意义求切线方程利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的

3、切线方程．6/11/2021[分析]根据导数的几何意义可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．6/11/20216/11/2021[例2]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．[分析]直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝

4、g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．6/11/20216/11/20216/11/2021当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.6

5、/11/20211.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．6/11/20212．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减，求函数的单调区间转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.6/11/20216

6、/11/2021[分析]本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．6/11/20216/11/20216/11/20216/11/20216/11/2021利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)

7、在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．否则，此根不是f(x)的极值点．6/11/20212．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)

8、值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．6/11/2021[例4]已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．6/11/2021[解析](1)由题意知f′(x)＝3ax