第一章 导数及其应用 112 导数的概念.ppt

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1、1．1.2导数的概念1．知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念．2．能利用导数的定义求函数的导数．本节重点：导数的定义．本节难点：用导数的定义求函数的导数．对导数的定义要注意：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不是变量；[例1]已知自由落体的运动方程为s＝gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平

2、均速度；(4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．[点评]应注意区分平均速度与瞬时速度的概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．以初速度v0(v0＞0)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．[例2]求函数y＝x2在点x＝3处的导数．[分析]利用导数定义求导．[解析](1)求y在点x＝3处的增量．取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.(2)算比值．[点评]求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法．由导数的意义

3、可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法是：[分析]已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为导数的意义．[点评]概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，解决这类问题的关键是等价变形，使问题转化．[答案]－2A求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[分析]由题目可获取以下主要信息：①物体的运动方程已知；②求物体在某一时间段的平均速度和物体在某一时刻的瞬时速度．解答本题可先根据要求的问题选好使用

4、的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．[解析](1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为(3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为[点评]如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数y＝s(t)＝t3＋3.求：(1)t＝4时，物

5、体的位移s(4)；(2)t＝2到t＝4的平均速度；(3)t＝4时，物体的速度v(4)．[答案]C2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3[答案]A[答案]A二、填空题4．自由落体运动在t＝4s的瞬时速度是________．[答案]39.2m/s5．对于函数y＝x2，其导数等于原来的函数值的点是______________．[答案](0,0)和(2,4)