导数在函数中的应用学案

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1、3.3.2函数的极值与导数学案学习目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；学习重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.学习过程：一、导入新课观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点oax1x2x34bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))二、感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.三、数学建构x02y极值点的定义:取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意以

2、下几点：(同学讨论)（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。oax1x2x3x4bxy（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。9（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系:o

3、ax0bxyoax0bxy从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：结论：左右侧导数异号是函数f(x)的极值点=0反过来是否成立?各是什么条件?点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.学生活动函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变

4、为减,且有极大值四、数学应用oxy例1．（课本例4）求的极值解：9课堂训练:求下列函数的极值让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：一般地，如果函数在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：①②③④强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f¢(x0)=0左右侧导数的符号例题2（案例分析）函数在x=1时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件练习:(感受高考）1、（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值

5、点（　A）A．1个B．2个C．3个D．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.例3求y=(x2－1)3+1的极值五：回顾与小结：93.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】⒈理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值的充分条件；⒉掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤【学习重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【学习难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和

6、极小值的区别与联系．【教学过程】：【复习回顾】1．极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：【新课】观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是1.结论：一般地，那么函数在上必有最大值与最小值．2．“最值”与“极值”的区别和联系(1)最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值

7、可能不止一个，也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:（1）（2）【知识点实例探究】例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。9变式：1求下列函数的最值：（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。（4）则函数的最大值为______，最小值为_

8、_____。变式：2求下列函数的最值：（1）（2）例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。例3．已知,∈(