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1、第三编导数及其应用§3.1导数的概念及运算基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为.答案Δx+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)=.答案cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是（填序号）.①af(b)＞bf(a)②af(a)＞bf(b)③af(a)＜bf(b)④af(b)＜bf(a)答案①③④4.（2008·辽宁理，6）设P为曲线C：
2、y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为.答案5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=.答案2例1求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy===，∴=.34例2求下列各函数的导数：（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解（1）∵y==x+x3+，∴y′=（x）′+(x3)′+(x-2sinx)′=-x+3x2-2x-3s
3、inx+x-2cosx.(2)方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=-sin(-cos)=sinx，∴y′=(sinx)′=（sinx）′=cosx.（4）y=
4、+==，∴y′=()′==.例3求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解（1）设u=1-3x,y=u-4.则yx′=yu′·ux′=-4u-5·（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则yx′=yu′·uv′·vx′=2u·cosv·234=4sin·cos=2sin.(3)y′=(x)′=x′·+x·（)′=+=.例4（14分）已知曲线y=x3+.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处
5、的切线的斜率k=y′
6、x=2=4.3分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y′
7、=x02.8分∴切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02·x-x03+.10分∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0
8、,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14分1.求y=在x=x0处的导数.解=34==，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于,∴f′(x0)=.2.求y=tanx的导数.解y′====.3.设函数f（x）=cos（x+）（0＜＜）.若f(x)+f′(x)是奇函数,则=.答案4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或-一、填空题1.若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时=.答案-12.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线a
9、x+y+1=0垂直，则a=.答案-23.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是.答案4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是.答案5x+y-2=05.（2009·徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为.答案（1，0）6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有条.答案37.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.34答
10、案8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是.答案二、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=cosx·sin2x+cos3x，x0=；（2）f（x）=，x0=2；（3）f（x）=，x0=1.解（1）∵f′(x)=［cosx(sin2x+cos2x)］′=(cosx)′=-sinx
