【素材】《证明复习题》典型例题（苏科）

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1、典型例题例1：C岛在A岛北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？解法1∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°∵AD∥BE（已知）∴∠BAD+∠ABE=180°（两直线平行同旁内角互补）∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°在△ABC中∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°（三角形内角和等于180°）答：从C岛看A

2、，B两岛视角∠ACB为90°解法2过点C作CF∥AD∵AD∥BE（已知）∴CF∥BE（平行于第三条直线的两条直线平行）∴∠ACF=∠CAD=50°（两直线平行内错角相等）∠BCF=∠CBE=40°（两直线平行内错角相等）∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°答：从C岛看A、B两岛视角∠ACB为90°反思：这种解法没有用到∠DAB=80°的条件因为AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°∠CAD+∠CBE=50°+40°=90°，∠CAB+∠CBA=180°-90°=90°即△ABC的两个角∠CA

3、B与∠CBA和是不变的，这决定∠ACB的大小，而∠DAB的大小不影响∠CAB与∠CBA的和．例2：已知∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°证明：∵∠BAF=∠2+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠CBD=∠1+∠3∠ACE=∠1+∠2∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和等于180°）∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360° 例3：已知P是△ABC内一点求证：∠BP

4、C＞∠BAC分析：找中间量证明：延长BP交AC于D在△PCD中∠BPC＞∠PDC（三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）同理：∠PDC＞∠BAC∴∠BPC＞∠BAC例4：三角形三条外角平分线相交构成的三角形是（    ）A．锐角三角形                                               B．钝角三角形C．直角三角形                                               D．都有可能如图中，△ABC的三条外角平分线AA′，BB′，

5、CC′反向延长后交出△A′B′C′分析：∠EAB=∠2+∠3  ①（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠FBC=∠1+∠2   ②①+②  ∠EAB+∠FBC=∠1+∠2+∠3+∠2（∠EAB+∠FBC）=90°+∠2（三角形内角和等于180°）即∠4+∠5=90°+∠2>90°∴∠A′<90°（三角形内角和等于180°）同理∠B′<90°∠C′<90°∴选（A）例5：若三角形的三个内角∠A，∠B，∠C满足3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是（    ）A．钝角三角形           

6、                                           B．直角三角形C．锐角三角形                                                      D．任意三角形分析：由已知条件可知，∠A最大，应继续分析∠A是否大于90°，还是等于或小于90°，若条件为等式则可求角，而本题条件为不等式则可求角的范围解法1：由已知3∠A>5∠B3∠A>3∠B+∠C∠A>∠B+∠C又∠A+∠B+∠C=180°∴∠A>90°∴选（A）解法2：由已知：，设∠B为

7、3份，则∠A>5份，∠C≤2份∴∠A>∠B+∠C又∠A+∠B+∠C=180°∴A>90°∴选（A）解法3：不等量代换：由已知：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∴选（A）解法4：由已知（1）（2）（2）代入（1）∠A>∠B+∠C……∴选（A）例6：已知AD、BE分别是∠CAG、CBG的平分线，AFB=100°，1+∠2=35°求：C的度数解法1：∵AD，BE分别是∠CAG，∠CBG的平分线∴∠3=∠1，∠4=∠2（角平分线定义）∵∠1+∠2=35°∴∠3+∠4=35°∵∠AFB=∠3+∠5，∠5=∠C+∠4（三角形

8、一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠AFB=∠3+∠4+∠C∴∠C=∠AFB-（∠3+∠4）=100°－35°=65°答：∠C=65°解法2：连接AB，在△AFB中∵∠AFB=100°∴∠FAB+∠FBA=180°-100°=80°（三角形内角和等于180°）∵∠3+∠4=∠1+∠2=35°（角平分线定义）∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=180°-（80°+35°）=65°