【教学设计】《实际问题与二次函数》（数学人教九上）

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1、《实际问题与二次函数》教学设计（第1课时）本课时编写：襄阳市第41中学李刚教材分析:本节涉及求函数的最大值.要先求出函数的解析式，再求出使函数值最大的自变量的值.在此问题的基础上，引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.教学目标：【知识与能力目标】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的

2、模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.教学重难点：【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：①y＝6x2＋12x；②y＝－4x2＋8x－10.（2）以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.[师生活动]学生自主进行解答，教师做好指导和点评.[提示]求解二次函数的最值可以选择两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.[解]（1）y＝6（

3、x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.【设计意图】通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课做铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.问题2：例1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提

4、问：（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？[解]当t===3时，h有最大值==45.即小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动的最大高度是45m.[结论]一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.[师生活动]教师通过以上问题让学生体会：求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标，引导学生看图时，要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.【设计意

5、图】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积（或体积）的二次函数解析式，再由二次函数的图象或性质确定二次函数的最大（小）值，从而确定二次函数实际问题的最大（小）值。问题3：[练习1]如图，用12m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？[解]设宽为x米，面积为S米2.根据题意并结合图形得S＝　x（6－x）　＝　－x2＋6x　.∵－　＜　0，∴S有最　大　值，当x＝　－＝2　时，S最　大　，此时6－x＝　3　，即当窗子的长为　3米　，宽为　2米　时，透进的光线最多.[练习2]张大爷要围成一个

6、矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.[解]（1）由题意可知AB=xm，则BC=（32-2x）m，∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.【设计意图】通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用。问题4：例2　如图所示，在边长为24cm

7、的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？[解]（1）根据题意，知这个正方体的底面边长GH=GF=，EF=GF=2x，∴x+2x+x=24,∴x=6.∴V=GH3=(