隐函数和参数方程求导相关变化率(I)

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1、第一节导数的概念第三节隐函数和参数式函数求导相关变化率第二节函数的求导法则第四节高阶导数第五节函数的微分第二章导数与微分第三节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率隐函数和参数式函数求导相关变化率第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程,解出y即可)把一个隐函数化为显函数，称为隐函数显化。1.两边直接求导法例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,

2、故确定的隐函数例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即2.对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:多个函数相乘除、根式和幂指函数例3.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导或求导公式1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导又如,对x求导两边取对数【P50例5】二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有

3、时,有(此时看成x是y的函数)关系,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为故从而,所求切线方程为：y=b.解例又星形线是一种圆内摆线例解例5.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化

4、率问题解法:找出相关变量及其相互关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例7.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?【P53习题7】解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知h=500m时,演示相关变量及其关系式相关变化率关系式思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求试求当容器内水例8.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内

5、注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为2.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①,求解：3.设方程组两边同时对t求导,得求其反函数的导数.解:方法1方

6、法2等式两边同时对求导备用题1.设作业P521——8题1.基本导数公式(P47)1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)