重积分的计算2北工大

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1、二重积分的换元二重积分的计算1定理1设有界闭区域R是由两条光滑曲线以及直线x=a与x=b所围成。在R可积，且定积分存在，也存在，且则累次积分若函数2若有界闭区域R是型区域,函数存在，且在R可积，存在，则累次积分且　　　　　，定积分3如何利用累次积分求二重积分(以　型为例)化为先对　，后对　　的累次积分.首先将R投影到Ｘ轴，得到闭区间　　　，在区间　　上任取一点　，关于　积分，在R内　的积分限由　　　到　　　．然后关于　　从到　　积分．4例计算二重积分　　　　其中D是由直线和双曲线　　　所围成，D既是x型区域又是y型区域．5例将二重积

2、分　　　　　化为按不同次序的累次积分，其中R是由上半圆周抛物线　　　　　和直线　　　　　所围成．6五、二重积分的换元定理2若函数在有界闭区域R连续，函数组　　　　　　　　　将平面上区域　　一对一地变换为xy平面上区域R。且函数组　　　　　　　　在上对与对存在连续偏导数，有则7证明用任意分法T将区域R分成n个小区域：设其面积分别是在R’上有对应的分法T’,它将R’对应分成n个小区域设其面积分别是有8在　　对应唯一一点而函数组在R上存在反函数组此函数组在R上9一致连续，当　　　　时，两边取极限（　　　　），有10例1计算曲线所围成区域R

3、的面积　　．例2计算两条抛物线　　　与和两条直线　　　　与　　　　所围成区域的面积与11例3解1213极坐标变换面积微元极坐标将圆域变换为矩形域.14注:当即极坐标变换将　轴上的线段　　　变换为平面上的原点．讨论闭区域15在区域和内用换元法,有再两边对取极限.16例4计算以圆域　　　　　　　为底，上的曲面是　　　　　的曲顶柱体的体积．例5计算球体　　　　　　　被圆柱面所截得的那部分立体的体积例6计算双纽线所围区域的面积.17例7用二重积分证明概率积分练　１.计算其中D为圆域：2.计算积分其中D为：18