重积分的计算2北工大

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1、二重积分的换元二重积分的计算1定理1设有界闭区域R是由两条光滑曲线以及直线x=a与x=b所围成。在R可积,且定积分存在,也存在,且则累次积分若函数2若有界闭区域R是型区域,函数存在,且在R可积,存在,则累次积分且     ,定积分3如何利用累次积分求二重积分(以 型为例)化为先对 ,后对  的累次积分.首先将R投影到X轴,得到闭区间   ,在区间  上任取一点 ,关于 积分,在R内 的积分限由   到   .然后关于  从到  积分.4例计算二重积分    其中D是由直线和双曲线   所围成,D既是x型区域又是y型区域.5例将二重积

2、分     化为按不同次序的累次积分,其中R是由上半圆周抛物线     和直线     所围成.6五、二重积分的换元定理2若函数在有界闭区域R连续,函数组         将平面上区域  一对一地变换为xy平面上区域R。且函数组        在上对与对存在连续偏导数,有则7证明用任意分法T将区域R分成n个小区域:设其面积分别是在R’上有对应的分法T’,它将R’对应分成n个小区域设其面积分别是有8在  对应唯一一点而函数组在R上存在反函数组此函数组在R上9一致连续,当    时,两边取极限(    ),有10例1计算曲线所围成区域R

3、的面积  .例2计算两条抛物线   与和两条直线    与    所围成区域的面积与11例3解1213极坐标变换面积微元极坐标将圆域变换为矩形域.14注:当即极坐标变换将 轴上的线段   变换为平面上的原点.讨论闭区域15在区域和内用换元法,有再两边对取极限.16例4计算以圆域       为底,上的曲面是     的曲顶柱体的体积.例5计算球体       被圆柱面所截得的那部分立体的体积例6计算双纽线所围区域的面积.17例7用二重积分证明概率积分练 1.计算其中D为圆域:2.计算积分其中D为:18

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