重积分的概念和性质北工大

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1、第十三章重积分第一节二重积分第二节三重积分一、曲顶柱体的体积二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、二重积分的计算五、二重积分的换元六、曲面的面积第一节二重积分柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.一．曲顶柱体的体积曲顶柱体求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。步骤如下：1.分割把R任意分成n个小区域其中　　表示第k个小区域，设其面积为对应的小曲顶柱体体积为2.取近似在每个小区域上任取一点,则此分法记为　　．3.求和4.取极限设n个小区域的直径分别为称　是曲顶柱体的体积．二、二重积分的概念１定义设是有界闭

2、区域R上的有界函数,任意分法T将闭区域R分成n个小闭区域：设表示第k个小闭区域的面积，在每个上任取一点作乘积并作和令如果当和式的存在极限　，记为则称此函数　　　　在闭区域R上可积．有是二元函数　　　在R的二重积分，记为积分区域积分和被积函数积分变量面积微元曲顶柱体的体积２．大和，小和，振幅的定义设　　与　　分别是函数　　　　在　　的上确界与下确界，则小和大和振幅３．二重积分存在的充分必要条件定理1函数在有界闭区域R可积证明已知函数在R可积，设二重积分是I,即有或又已知小和　　与大和　　　分别是积分和在R的下确界与上确界．或则设有由已知

3、条件，当　　　　时，有设　　　　　　　，有由已知对积分和有由上面两个不等式，　　有可得即函数　　　在有界闭区域R可积．定理2若函数在有界闭区域R内连续，则函数在R可积。证明由连续函数的性质,函数在R一致连续，即有（　表示　的面积）将R分成n个小闭区域函数　　　　在　　必能取到最大值　　与最小值　　，即存在两点使与则有函数　　　　在R可积．定理3若函数在有界闭区域R内则函数在R可积。有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上,４．二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质１当k为常数时，性质２若函数　与　在R都可积，则函数在R也可积，

4、且性质３对区域具有可加性没有公共的内点时,有性质４若为R的面积，性质５若函数　　　与　　　　在R上可积，则有特殊地且对性质６设、分别是在闭区域R上（二重积分估值不等式）的最大值和最小值，为R的面积，则性质７设函数在有界闭区域R上（二重积分中值定理）为R的面积，则在R上至少存在一点使得连续，证明由连续函数的性质，在R上必存在最大值与最小值　　，则存在两点使得有则由连续函数的介值性至少存在一点使即例考察定义在　　　　　　　上函数的可积性．