三重积分概念(北工大).ppt

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1、一、三重积分的概念二、重积分的计算三、三重积分的换元四、简单应用三重积分1一、三重积分的概念设三元函数在有界闭体V有定义，用分法T将V分成n个小体设它们的体积分别是,在小体上任取一点作和称为函数在体V的积分和。令2若当时，三元函数在V的积分和存在极限J(数J与分法T无关，也与点的取法无关)，即则称函数在体V可积，J是函数在体V的三重积分，记为或3其中V称为积分区域，称为被积函数,dV或dxdydz称为体积微元。三重积分的几何意义设被积函数则区域V的体积为设有界体上每一点的密度是则的质量为4二、三重积分的计算1.直角坐标系中将三重积分

2、化为三次积分．设积分区域V为5如图，过点闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D.6再计算得则注相交不多两点情形.7表示当固定时,对积分,的变化由到其次,当固定时,对积分.即8最后对积分,的变化从到.即的变化从到.9x0zyz=z2(x,y)I=PDz=z1(x,y)这就化为一个定积分和一个二重积分的运算10例1计算平面与所围成的四面体的体积.例2计算三重积分，上半椭球体：其中Ｖ是11z=0y=0x=00yxV：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域x0zy11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成1例3计算

3、三重积分x+2y+z=1DxyI=解122.截面法(红色部分)(1)投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算单积分即13Dz.bc=例4计算x0yzD0az14三.三重积分换元法定理若三元函数在有界闭体连续,则三重积分存在.设函数组在空间有界闭体有定义.若满足下列条件:151)函数所有的偏导数在连续;2)16则有三重积分的换元公式3)函数组(1)将空间中的一一对应地变换为空间中的.17例5计算六个平面所围成的平行六面体V的体积，其中是常数，且18例6计算其中是由曲面所围成的区域.解作变换19而由公式,20已知椭球V

4、:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.练习21