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1、§9.1二重积分的概念和性质在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分
2、和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。引例1.曲顶柱体的体积第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体:以xOy面上有界闭区域D为底，侧面是以D为边界曲线而母线平行于z轴的柱面,顶是曲面z=f(x,y)(≥0)D的立体.Doz=f(x,y)xyz柱体体积=底面积×高特点：平顶.曲顶柱体体积=？Doz=f(x,y)Δσixyz(ξi,ηi)２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量3．二重积分的概念积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和说明：1.若f(x,y)在
3、闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积.2.曲顶柱体的体积:平面薄片的密度:3.几何意义:1)f(x,y)0,2)f(x,y)0,3)一般:表示位于xOy面上方及下方曲顶柱体体积的代数和.由二重积分的定义可知若二重积分存在则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，则面积元素为4.d--面积元素,在直角坐标系中:d=dxdy故二重积分可写为二、二重积分的性质性质1.性质4.性质3.(区域
4、可加性)性质2.性质6.设M、m分别是在f(x,y)闭区域D上的最大值和最小值,则有性质5.在D上则有不等式特殊地,有性质7.(二重积分的中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积,则在D上至少存在一点(,),使得解例2利用性质比较其中D:由x轴,y轴及x+y=1围成的区域小结二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质（与定积分类似）设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有补充如果
5、积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.§9.2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分假定应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积二、平行截面面积为已知的立体的体积如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.yxoⅠⅡⅢyxoabcdD3.若积分区域D既不是X-型,又不是Y-型,可以把D
6、分成几部分,使每个部分是X-型区域或是Y型区域.2.若积分区域D既是X-型的,又是Y-型的.则[注]1.X-型,Y-型域的特点;(作线法)计算二重积分的关键-----确定积分限1。画出积分区域D的图形;2。根据D及f(x,y)的特点,选取积分顺序;3。根据区域D定出积分限;4。把二重积分化为二次积分.yxoy=x12y1x2y=1x=2例1计算其中D是由直线y=x,y=1,x=2所围成的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例2计算,其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.yxo1y=x-2－1y24解:为计算简便,先对
7、x后对y积分,则例3计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,步骤（1）根据给出的二次积分，画出积分区域D；（2）根据积分区域D，写出另一二次积分。说明有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例4交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例5.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为
