重积分复习(北工大)

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1、二重积分三重积分1一、二重积分的计算1定理1若函数在闭矩形域可积，且存在，则累次积分也存在，且22推论若函数在[a,b]可积，函数在[c,d]可积，则乘积函数在闭矩形域也可积，且3３．X型与y型区域定义设函数　　　　　　在闭区间连续；函数　　　　　　在闭区间连续，则x型区域y型区域4积分区域为：其中函数、在区间上连续.如图x型区域5y型区域6定理2设有界闭区域R是由两条光滑曲线以及直线x=a与x=b所围成。在R可积，且定积分存在，也存在，且则累次积分若函数7如何利用累次积分求二重积分(以　型为例)化为先对　，后对　　的

2、累次积分.首先将R投影到Ｘ轴，得到闭区间　　　，在区间　　上任取一点　，关于　积分，在R内　的积分限由然后关于　　从到　　积分．到8二、二重积分的换元定理2若函数在有界闭区域R连续，函数组　　　　　　　　　将平面上区域　　一对一地变换为xy平面上区域R。且函数组　　　　　　　　在上对与对存在连续偏导数，有则9极坐标变换面积微元设曲面S的方程为：曲面的面积曲面面积为第一型曲面积分的特殊情况10利用参数方程来计算曲面面积11例1计算二重积分　　　　其中D是由直线和双曲线　　　所围成，D既是x型区域又是y型区域．12例2将二

3、重积分　　　　　化为按不同次序的累次积分，其中R是由上半圆周抛物线和直线所围成．13截下的有限曲面片的面积.被柱面例3求曲面例4所围平面闭区域.例5计算由下列曲线围成的面积14例6例7计算球体　　　　　　　被圆柱面所截得的那部分立体的体积其中　是以所围成．例815二、三重积分1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分．设积分区域V为16如图，过点闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D.17再计算得则注相交不多两点情形.18x0zyz=z2(x,y)I=PDz=z1(x,y)这就化为一个定积分和一个二重积分的运算19三.三重

4、积分换元法定理若三元函数在有界闭体连续,则三重积分存在.设函数组在空间有界闭体有定义.若满足下列条件:201)函数所有的偏导数在连续;2)21则有三重积分的换元公式3)函数组(1)将空间中的一一对应地变换为空间中的.222.柱面坐标变换设其中23先将Ω在xOy面上的投影域用极坐标不等式从而故再确定Ω的下,上边界面表示243．球面坐标与直角坐标的关系为25球面坐标系中的体积微元为再根据再V中r，，的关系，化为三次积分。26例9计算平面与所围成的四面体的体积.例10计算三重积分，上半椭球体：其中Ｖ是例11计算三重积分V

5、：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域27与抛物面所围的立体.例12计算，其中是球面例13计算其中V由曲面和围成。28其中V是由曲面所界的区域．例1429