连续系统的时域分析(I)

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1、2021/8/251第二章连续系统的时域分析2021/8/2522.1LTI连续系统的响应LTI连续系统的描述：微分方程的建立LTI连续系统的分析：微分方程的求解经典法：自由响应和强迫响应双零法：零输入响应和零状态响应2.2冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分2.4卷积积分的性质2.5冲激响应表示的系统特性本章的主要内容2021/8/253难点：单位冲激响应的求解；利用卷积积分的性质求系统的零状态响应。本章的主要内容2021/8/254系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号，求系统的输出响应引言数学模型LTI连续时间系统连续时间信号输出连续时间信号输入输入激励信号（t的函数）输出响应信号

2、（t的函数）线性常系数微分方程2021/8/255引言n阶常系数线性微分方程的求解法微分方程求解时域分析法变换域法（第四、五章）全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（强迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（齐特法或卷积积分法）冲激响应和阶跃响应经典法双零法2021/8/256经典法求齐次解和特解建立自由响应和强迫响应概念双零法建立零输入响应和零状态响应概念用卷积积分法求系统的零状态响应双零法是系统分析的基本方法优点：物理概念明确，运算过程方便。是近代计算分析系统的强有力工具，是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，给变换域分析赋予清晰的物理概念。引言2021/8

3、/257电路微分方程建立的依据KCL和KVL定律电容电感电阻引言电路微分方程建立的依据2021/8/258KCL:KVL:引言描述输入与输出之间关系的微分方程输入输出2021/8/259设系统的激励信号为，响应为，则连续线性时不变(LTI)系统的特性可用一个n阶常系数线性微分方程来描述：2.1LTI连续系统的响应系统的数学描述或缩写为：2021/8/25102.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解微分方程的经典法解法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由等号右边激励信号的形式确定2021/

4、8/2511齐次方程的求解特征根的求解齐次方程为即特征方程为解得此方程的n个根称为微分方程的特征根。2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/25122.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根λ1,λ2,,λn(2)特征根是等实根λ1=λ2==λn=λ(3)特征根是成对共轭复根2021/8/2513对应的齐次解为：特征根：因式分解：其中C1，C2为待定系数，在求得全解后，由初始条件确定。例：求如下所示的微分方程的齐次解解：系统的特征方程为2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/2514特解的求解微分方程的特解y

5、p(t)的函数形式与t≥0+时，等号右边的激励信号的形式有关。确定特解形式后，代入原微分方程，求出其待定系数。2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解常用激励信号对应的特解形式(有限)2021/8/2515例：求给定微分方程的特解上式对所有的t≥0成立，故有：其一、二阶导数分别为：将它们代入方程：解得P=Q=1，所以特解为：解：，故可设方程的特解为：2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/2516例：求给定微分方程的全解解：由前两例，可知：则系统的全响应为：其一阶导数为：令t=0，并代入初始条件，得：2.1.LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/2517由上

6、式可解得C1=2，C2=-1：所以全响应为：2.1.LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/25182.1LTI连续系统的响应自由响应和强迫响应自由响应：微分方程的齐次解表示系统的自由响应。它是由表示系统特性的特征方程根λ决定。λ又称为系统的“固有频率”（或“自由频率”、“自然频率”）。强迫响应：微分方程的特解表示系统的强迫响应，只与t≥0+时，等号右边的激励信号的形式有关。自由响应强迫响应瞬态响应稳态响应2021/8/2519若初始条件不变，输入信号发生变化，方程的特解是否变化？齐次解是否变化？2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解2021/8/25202.1LTI连续系

7、统的响应关于0-与0+值响应区间确定激励信号f(t)加入后系统的状态变化区间。用0-时刻表示0时刻之前瞬间的时刻，0+时刻表示0时刻之后瞬间的时刻。一般激励f(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：起始状态系统在激励信号加入前瞬间的一组状态,称为系统的起始状态，简称0-状态。系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。2021/8/2521初始条件系统在激励信号加入后瞬间的一