连续系统的时域分析

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1、第二章连续系统的时域分析求响应：经典法：已知f（t）、x{0}全响应y（t）=yf（t）+yx（t）卷积积分法：先求n（t），已知f（t）yf（t）=h（t）f（t）主要内容：一经典法求LTI系统的响应：齐次解自由响应瞬态零输入特解强迫响应稳态（阶跃、周期）零状态二冲击响应与阶跃响应：（定义、求解方法仍为经典法）三卷积积分：（定义、图示法求卷积）四卷积积分的性质：27§2.1LTI系统的响应（经典法）一常系数线性微分方程的经典解n阶：y(t)+an-1y(t)+…+a1y(t)+a0y(t)=bmf(t

2、)+bm-1f(t)+……+b1f(t)+b0f(t)全解：y(t)=齐次解yh(t)+特解yp(t)1齐次解：yh(t)=（形式取决于特征根）特征方程：(t)+an-1(t)+…+a1(t)+a0=0特征根：决定齐次解的函数形式，表2-1如为2个单实根1、2，yh（t）=+如为2重根(+1)2=0，=-1，yh(t)=C1te-t+C0e-t系数Ci：求得全解后，由初始条件确定2特解：函数形式：由激励的函数形式决定，与特征根有关系，表2-2如：f(t)为常数，yp(t)=P0f(t)=t2，yp(t)

3、=P2t2+P1t+P0f(t)=e-t，=-2，不等yp(t)=Pe-tf(t)=e-t，=-1，相等yp(t)=P1te-t+P0e-t系数Pi：由原微分方程求出3全解：y(t)=yh(t)+yp(t)=+yp(t)此时利用y(0)，y‘(0)，求出系数Ci27例2.1-1:y‘‘(t)+5y‘(t)+6y(t)=f(t)f(t)=2e-t，y(0)=2y‘(0)=-1解:(1)齐次解：yh(t)=C1e-2t+C2e-3t2+5+6=0，1=-2，2=-3特解：yp(t)=e-t设yp(t)=Pe

4、-t代入原方程：Pe-t+5(-Pe-t)+6Pe-t=2e-tP=1全解：y(t)=C1e-2t+C2e-3t+e-t求Ci：y‘(t)=-2C1e-2t-3C2e-3t-e-t齐次解特解数学角度y(t)=3e-2t-2C2e-3t+e-tt≥0自由响应强迫响应系统角度(2)[P44]例2.1-2:y‘’(t)+5y‘(t)+6y(t)=f(t)f(t)=10costy(0)=2y‘(0)=0解:yh(t)=C1e-2t+C2e-3typ(t)=Pcost+Qsint=cost+sint=cos（t-

5、）yp‘‘(t)、yp‘(t)、yp(t)代入方程，求得P=Q=1y(t)=C1e-2t+C2e-3t+cos（t-）由初始条件可解得C1=2，C2=-1y(t)=2e-2t-C2e-3t+cos（t-）t≥027二关于0-和0+初始值若f(t)在t=0时接入系统，方程的解适用t≥0求解的初始条件：严格是指t=0+时刻的值，y(0+)、y‘(0+)…已知系统初始状态：t=0-时，激励未接入，y(0-)、y‘(0-)…，反映系统的历史情况。求解微分方程时，要先从yi(0-)yi(0+)例2.1-3:y‘‘

6、(t)+3y‘(t)+2y(t)=2f‘(t)+6f(t)已知：f(t)=，y(0-)=2，y‘(0-)=0，求：y(0+)、y‘(0+)解：y‘‘(t)+3y‘(t)+2y(t)=2+6y‘‘(t)dt+3y‘(t)dt+2y(t)dt=2dt+6dt[y‘(0+)-y‘(0-)]+3[y(0+)-y(0-)]+2×0=2×1+6×0y(t)在t=0是连续的y(0+)=y(0-)=2y‘(t)在t=0是跃变的y‘(0+)=y‘(0-)+2=2结论：当方程右端含有及函数时，y(t)及各阶导数有些将发生跃

7、变；当方程右端不含有及函数时，y(t)及各阶导数一般不发生跃变，可直接等。27三零输入响应和零状态响应y(t)=yx(t)+yf(t)=++yp(t)=+yp(t)初始值:y(0-)=yx(0-)+yf(0-)y(0+)=yx(0+)+yf(0+)对零状态响应:yf(0-)=0yx(0-)=y(0-)对零输入响应:由于f(t)=0，故:yx(0+)=yx(0-)=y(0-)1经典法求yx(t)和yf(t)例2.1-4:y‘‘(t)+3y‘(t)+2y(t)=2f‘(t)+6f(t)已知：f(t)=，y(

8、0-)=2，y‘(0-)=0解：求yx(t)即f(t)=0满足yx‘‘(t)+3yx‘(t)+2yx(t)=0,且满足y‘(0+)的解初始值:yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx‘(0+)=yx‘(0-)=y‘(0-)=0响应形式：yx(t)=Cx1e-t+Cx2e-2tCx1+Cx2=2yx‘(t)=-Cx1e-t-2Cx2e-2t-Cx1-2Cx2=0Cx1=4Cx2=-2∴yx(t)=4e-t-2e-2t=[4e-t-2e-