课时变化率与导数、导数的计算(I)

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1、第10课时　变化率与导数、导数的计算1．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数【思考探究】f′(x)与f′(x0)相同吗？提示：f′(x)与f′(x0)不相同；f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．3．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．y′斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′

2、(x)＝f(x)＝tanxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cos_x－sin_xaxln_aex5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；6．复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝，即y′x＝.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(u)·v′(x)y′u·u′x1．(2010·全国新课标卷)曲线y＝x

3、3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：∵点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，∴过点(1,0)的切线斜率k＝y′

4、x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.答案：A答案：B3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B5．某物体作匀速运动，其运动方

5、程是s＝vt＋b(v是平均速度)，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析：由已知任何时刻t的瞬时速度为s′＝(vt＋b)′＝v，∴相等．答案：相等2．函数的导数与导数值的区别与联系导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及求导两种方法)．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则

6、，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(3)y′＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝－(2x－1)sin2(x2－x)．【变式训练】3.若题目条件不变，求满足斜率为－的曲线的切线方程．1．曲线的切线(1)准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：①直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线可能与曲线有两个或两个以上的交点．②曲线未必在其切线的“同侧

7、”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．(2)曲线的切线的求法若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．①点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线

8、方程．2．函数在点x0处的导数、导函数、导数的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的