误差传播定律第五节算术平均值及中误差

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1、第二节误差传播定律一、测量中观测量与未知量的关系分直接观测和间接观测例：高差测量的读数a、b，角度测量某一方向读数这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观测。间接观测---未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数关系计算得出例h=a-bS=a.b观测斜距，竖角求水平距离D=S·cosα二、误差传播定律概念要获得间接未知量必须直接观测某些独立量则直接观测量所含有的误差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接观测值的中误差求得间接未知量的中误差，阐述这种关系的定律叫误差传播定律。讨论一般函数，设有函数其中为独立观测值。中误差分别为：设分别有真误差相应函数随之产生真误差根据

2、变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全微分,舍取二次以上各项得：两式相减得;此式为函数Z的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。是函数对各个变量所取得偏导数。当函数与观测值确定后是一个常数,用K表示所以函数可写为：将两端各自平方求和除n得：根据中误差定义有：三、非线性函数[例题]：丈量得倾斜距离s=50.00m，其中误差，并测得倾斜角，其中误差，求相应水平距离D及其中误差。解：首先列出函数式D=Scos水平距离D=50∙cos15ْ=48.296m这是个非线性函数，所以要用公式（6-9）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：按公式（6-9）得：故得：步骤

3、：（1）写出函数式。（2）写出真误差关系式，只要对函数求微分。（3）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误差平方三、和差函数例题；测量一正方形四条边长均为10.5m,其测量中误差为md=±0.05m,求该正方形的周长L及其中误差ml?函数式：D=d1+d1+d1+d1真误差式：中误差式：四、倍数函数如教材例题第三节算术平均值一、算术平均值(等精度观测）根据真误差定义，对某量观测了n次两边除n由偶然误差第四特性知：由偶然误差第四特性知：所以所以在有限次观测时，所求得观测值是接近真值的值，因此算术平均值是观测量的最可靠值。（最或然值）二、算术平均值的中误差在同精

4、度观测条件下，得观测值L1、L2┉Ln,中误差均相同为m,算术平均值如下。根据误差传播定律中误差式为：观测次数n算术平均值的中误差M20.71m40.50m60.41m100.32m200.22m500.14m算术平均值的中误差是观测值中误差的倍。算术平均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加可以提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到某种程度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分析。用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称最或然值最或然误差---最或然值X与观测

5、值之差，也称似真误差，观测值改正数对某量观测n次则有已知：将两式相加得：算术平均值的真误差则上式可写为：将两边平方：两边求和：证明：将按级数展开取第一项得：代入得：由以上可得：（白塞尔公式）