几何证题方法选讲

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1、几何证题方法探讲新洲区第一初级中学一、几何证题的基本方法在逻辑学中，所谓分析，就是把思维对象分解为各个组成部分、方面和要素，分别加以研究的思维方法，它在思维方式上的特点，在于它从事物的整体上深入地认识事物的各个组成部分，从而认识事物的内在本质或整体规律；所谓综合，是在思维中把对象的各个组成部分、方面、要素联结和统一起来进行考察的方法。它在思维方式方面的特点是在分析的基础上，进行科学的概括，把对各个部分、各种要素的认识统一为对事物整体的认识，从而达到从总体上把握事物的本质和规律的目的。在数学研究及学习中，把分析与综合的思维方法运用到几何的逻辑证明或推导中，就形成了求解几何问题的分析

2、法与综合法。分析法是由命题的结论入手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。综合法则是由命题的题设入手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。【例1】如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G。求证：AE·BE＝EF·EG。OADMGCABEF【分析】欲证乘积式，先必须转化为比例式然后三点定形，只需证△AEF∽△EGB【例2】如图，已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB

3、＝CD，过A、C、D三点的圆交AB于F。求证：F为△CDE的内心。【证明】要证F为△CDE的内心，只需证①DF平分∠CDE；②CF平分∠DCB即可。要证①，只需证∠CDF＝∠FDE＝45°即可（∠CDE＝90°），而A、C、F、D共圆，有∠CDF＝∠CAF，只需证∠CAB＝45°即可，而这由题设即得。要证②，只需证∠BCF＝∠DCF即可，要证这两个角相等，可有如下一系列途径：（1）只需证△BCF≌△DCF即可因为CD＝CB，且∠FBC＝∠CDF＝45°，只需证DF＝FB即可。又只需证∠FDB＝∠FBD即可，而由CD＝CB有∠CDB＝∠CBD。故结论获证。14（二）综合法深入发掘题

4、设内涵，充分运用已知条件，是熟练地运用综合法解题的关键。【例3】1、如图20-10，直线y＝kx－k2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）。（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在实数k，使经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B。若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由；（3）连接DE、CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，直线AC与DE相交于点N，不论k取何值，在①∠ENM＝∠NCE；②∠ENM＝∠NCD两个等式中有一个恒成立。请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论

5、。图20-10EOCy·B·DA·xEOCy·B·DA·xNMFABCEHD对条件较少的命题，在运用综合法求解时，应注意寻找并作出那些能沟通已知与未知，使问题所涉及的边角、比值等图形条件得到汇聚的辅助线作为突破口，这样容易入手，有时还会有开阔的思路。【例4】等边△ABC中，点D为BC上一点，且BD＝2DC，连结AD，作∠DCE＝∠DAC，交AD于E，连结BE，求证：BE⊥AD。【分析】等边三角形是等腰三角形的特殊情形，因此可作AH⊥BC于H，运用“三线合一”得出DC2与DH·DB，结合条件∠DCE＝∠DAC，可知△CDE∽△ADC，推出DC2＝DE·DA，进一步推出△DBE∽△D

6、AH，从而得证。（二）面积法我们在求解平面几何问题的时候，根据几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关几何量，从而把要证明的几何量之间的关系化为有关面积之间的关系，并通过图形的等积变形对所证问题来进行求解的一种方法，我们称之为面积法。面积法具有直观性较强、联系较广、便于条件与结论之间的搭桥、表述简明等特点，颇受教师与学生的重视与青睐。1、面积法解题的基本依据14（1）面积公式：①S△ABC＝ah②S△ABC＝bcsinA（2）变形定理：①面积分割原理：一个图形的面积等于它的各部分面积之和；②两个全等图形的面积相等；③等底（含同底）等高的两个三角形面积相等；反之若两

7、个三角形等高（或等底）且等积，则它们等底（或等高）；④等积平行定理：S△A1BC＝S△A2BC；且点A1、A2在BC的同侧A1A2∥BC（3）几个常用的面积比定理①两相似图形的面积比等于其相似比的平方；②两个同（等）底的三角形（平行四边形）的面积比等于这边上对应高的比；③两个同（等）高的三角形（平行四边形）的面积比等于它们底边的比；④夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得两条线段之比总等于一个常数λ，那么这两个平面图形的面积之比为λ；⑤共边比