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《数学几何证明选讲高考真题集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4-1：几何证明选讲专题研究1、(2007全国新课标卷文•理22)如图，已知AP是。的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于3,C两点，圆心。在ZPAC的内部，点M是BC的中点.人(I)证明A,P,O,M四点共圆；(II)求ZOAM+ZAPM的大小.【考点】【解析】(I)证明：连结OP,OM.因为AP与O相切于点P,所以OP丄AP.因为M是O的弦BC的中点，所以OM丄BC.于是ZOPA+ZOMA=180°・由圆心。在ZPAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆.A(II)解：由(I)得A,P,O,M四点共闘，所以ZOAM=
2、ZOPM.由(I)得OP丄AP.由圆心。在APAC的内部，可知ZOPM+ZAPM=90°.所以ZOAM+ZAPM=90°.【点评】2、(2008全国新课标卷文•理22)如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A,过A点(°——m作直线AP垂直直线OM,垂足为P.PJ(I)证明：OMOP=OA2；(II)N为线段APA1一点，直线NB垂总直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：ZOKM=90【考点】【解析】解：(I)证明：因为是圆O的切线，所以04丄AM.又因为AP丄OM.在RtAOAM中，由射影定理知，OA2=OMOP・(II
3、)证明：因为BK是圆O的切线，BN1OK・同(I),^OB2=ONOK,乂OB^OA,所以OPOM=ONOK,即竺=如.OPOK又ZNOP=AMOK,所以△CWPs^OMK,故ZOKM=ZOPN=90【点评】3、(2009全国课标卷文•理22)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,ZB=60°,F在AC±,JI.AE=AF.(I)证明：B,D,H,E四点共圆;(II)证明：CE平分ZDEFo【考点】【解析】解：(I)在△AB/,因为ZB=60°,所以ZBAC+ZBCA=120°.因为AD,CE是角平分线，所以ZHAC+ZHCA=6(T
4、,故ZAHC=120°.于是ZEHD=ZAHC=120°.因为ZEBD+ZEHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆。(II)连结BH,贝ljBH为ZABC的平分线，得上HBD=30°由(I)矢HB,D,H,E四点共圆，所以ZCED=ZHBD=30°又ZAHE=ZEBD=6(T,由已知可得EF丄AD,可得ZCEF=30°,所以CE平分ZDEF【点评】4、(2010金国新课标卷文•理22)如图，已经圆上的弧AC=BD,过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：(I)ZACE=ZBCD；(II)BC2=BFxCDo【考点】【解析】(I)因为AC=BC,
5、所以ZBCD=ZABC.乂因为EC与圆相切于点C,故ZACE二乙4BC,所以ZACE=ZBCD.(II)因为ZECB=ZCDB,ZEBC=ZBCD,所以随DCsECB,故竺=竺,BEBC即BC2=BExCD.B【点评】5、(2011全国新课标卷文•理22)如图，D,E分别为ABC的边AB,AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根。(I)证明：C,B,D,E四点共圆；(II)若乙4=90。，且/77=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径。【考点】【解析】(I)
6、连接DE,根据题意在△ADE和ZXACB中，ADxAB=mn=AExAC,AnAr即——=——.乂ZDAE=ZCAB,从而△ADE^AACBACAB因此ZADE=ZACB所以C,B,D,E四点共圆.(II)m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x〕=2,x2=故AD=2,AB=12.収CE的中点G,DB的中点F,分別过G,F作AC,AB的垂线，两垂线和交于H点连接DH.因为C,B,D,E四点共圆，所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于ZA=90°,故GH〃AB,HF〃AC.HF二AG=5,DF=-(12-2)=5.2故C
7、,B,D,E四点所在圆的半径为5“【点评】6、(2012全国新课标卷文•理22)如图，D,E分别是AABC边AB,AC的中点，直线DE交AABC的外接圆与F,G两点，若CF〃AB,证明：(I)CD=BC;(II)ABCD^AGBD.【考点】【解析】(I)VD,E分别为AB,AC的中点，・・・DE〃BC,VCFZ/AB,BCFD是平行四边形，ACF=BD=AD,连结AF,AADCF是平行四边形，ACD=AF,VCF//AB,・BC=AF,・*.CD=BC；(II)・.・FG〃BC,.*.GB=CF,ll](I)可知BD=CF,.*.GB=BD,VZDG
8、B=ZEFC=ZDBC,・ABCD^AGBD.【点评】EB7、（2013全国新课标I文•理2
