线性方程组与向量组的线性相关性

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1、线性代数第四章第四章线性方程组与向量组的线性相关性本章教学内容§1消元法与线性方程组的相容性§2向量组的线性相关性§3向量组的秩矩阵的行秩与列秩§4线性方程组解的结构§1消元法与线性方程组的相容性本节教学内容1.线性方程组的概念2.Cramer(克莱姆)法则3.用消元法解线性方程组§1消元法与线性方程组的相容性1.线性方程组的概念n元线性方程组的一般形式为记：称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列，则线性方程组可写成矩阵形式Ax=b§1消元法与线性方程组的相容性设n元线性方程组Ax=b，若A按列分块为A=(1,2,…,n)，则

2、方程组可写成向量形式1x1+2x2+…+nxn=b若b=0,即Ax=0称为齐次线性方程组若b≠0,即Ax=b称为非齐次线性方程组若n维列向量=(1,2,…,n)T满足A=b，则称x1=1,x2=2,…,xn=n是Ax=b的一个解，并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。§1消元法与线性方程组的相容性设n元线性方程组Ax=b，称Ax=0为与它对应的齐次线性方程组，若n维列向量(≠0)满足A=0，则称x=是齐次线性方程组Ax=0的一个非零解，显然x=0是Ax=0的一个解，称它为Ax=0的零解，

3、或当然解，或平凡解。若线性方程组Ax=b有解，则称它是相容的，否则称它是不相容的。性质齐次线性方程组是相容的。§1消元法与线性方程组的相容性2.Cramer法则设n个方程的n元线性方程组Ax=b，若A≠0，则线性方程组Ax=b有惟一解其中Dj是以b代替A的第j列所得到的n阶行列式。§1消元法与线性方程组的相容性证Ax=b，#§1消元法与线性方程组的相容性例1.1解线性方程组解§1消元法与线性方程组的相容性Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个数相同、且其系数行列式的值不为零的线性

4、方程组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。§1消元法与线性方程组的相容性3.用消元法解线性方程组定义1.1若线性方程组A1x=b1的解都是线性方程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。在中学，我们已经知道(1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变；(2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程上，方程组的解也不变(即加减消元法)。因此，就有§1消元法与线性方程组的相容性定理1若(A1

5、,b1)经初等行变换化为(A2,b2)，则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的解不变。定义(A,b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。§1消元法与线性方程组的相容性用消元法解线性方程组的思想方法是：解线性方程组Ax=b(1)用初等行变换将增广矩阵(A,b)化为最简行阶梯形矩阵(C,d)；(2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.§1消元法与线性方程组的相容性例1.2用消元法解线性方程组

6、解§1消元法与线性方程组的相容性于是方程组的解为R(A)=R(A,b)=3(未知量个数)方程组有惟一解。§1消元法与线性方程组的相容性例1用消元法解线性方程组解§1消元法与线性方程组的相容性原方程组可化为此称方程组的一般解(或通解)R(A)=R(A,b)=2<4(未知量个数)方程组有无穷多组解,自由未知量个数=4-2=2.x3与x4可任意取值，称为自由未知量§1消元法与线性方程组的相容性例2用消元法解线性方程组解88661§1消元法与线性方程组的相容性原方程组可化为所以方程组无解.1矛盾方程组R(A)≠R(A,b)方程组无解,§

7、1消元法与线性方程组的相容性由上述例题可知定理2设n元线性方程组Ax=b，⑴R(A)=R(A,b)=n方程组Ax=b有惟一解;⑵R(A)=R(A,b)

8、方程组Ax=0有无穷多组解，即方程组Ax=0有非零解A为方阵时，A=0注：定理1.3及推论1.2自行阅读。§1消元法与线性方程组的相容性例1.3判断下列线性方程组是否有解解§1消元法与线性方程组的相容性例1.4问取何值，下列方