线性方程组与向量的线性相关性课件.ppt

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1、第三章线性方程组与向量的线性相关性线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组.线性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一.本先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.本章重点：线性方程组的有解性的条件向量的线性相关性的基本概念与基本结论线性方程组的解的结构理论向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充)1§3.1消元法对于一般形式的线性方程组，最基本且较简便的方法是消元法，在本节将介绍线性方程组的消元过程可以用矩阵

2、的初等行变换来实现.一、线性方程组的矩阵形式二、初等行变换解线性方程组2一、线性方程组的矩阵形式线性方程组的一般形式：3线性方程组的矩阵形式：A称为线性方程组的系数矩阵；若令，则称矩阵为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.4行对应方程，列对应未知元二、初等行变换解线性方程组(以例说明)相当于将第一、二方程中的消去了5未知元的个数多于方程的个数，则存在不受约束的未知元，称为自由未知元.若选择作为自由未知元，则受的约束(为任意常数).6例1.1解线性方程组(P78,Ex.2(1))解：1(为任

3、意常数).7§3.2线性方程组的一般理论在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线性方程组有非零解的条件.一、非齐次线性方程组解的研究二、齐次线性方程组解的研究8一、非齐次线性方程组解的研究例2.1求解非齐次线性方程组解：方程组无解.此时一般地，对于方程组AX=b，若R(A)，则是不是方程组一定无解呢？9例2.2求解非齐次线性方程组(P78,例2)解：一般地，对于n元方程组AX=b，若R(A)=R(A,b)=n，则是不是方程组一定有唯一解？10例2.3求解非齐次线性方程组解：11选择作为自由未知数,一般地，对于

4、n元方程组AX=b，若R(A)=R(A,b)=r

5、穷多解的充分必要条件是15推论4设A为n阶矩阵，则线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是(克拉默法则)推论5设A为n阶矩阵，则线性方程组AX=b无解或有无穷多解的充分必要条件是16求解带参数的方程组，包括何时无解、有唯一解、有无限多个解，是Thm3.1的综合应用,在线性代数中占有重要地位，因此要熟练掌握它的解法.例2.4设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.解：带参数的非齐次方程AX=b，一般有两个求解

6、方法：其一是当A为方阵时,先根据系数行列式求得使方程组有唯一解的值，然后讨论；17方法一：系数矩阵的行列式为因此(1)当即且时，方程组有唯一解.(2)当时，18可见故方程组此时有无限多个解，且通解为19(3)当时，可见故方程组此时无解.20方法二：对增广矩阵作初等行变换不能作变换不能作变换21因此(1)当且时，方程组有唯一解.(2)当时，方程组有无穷多解，22(3)当时，可见故方程组此时无解.23二、齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组一定有解Thm3.2n元齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是系数矩阵的秩

7、等于未知量的个数n，即R(A)=n；有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数n，即推论设A是n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是系数行列式；有非零解的充要条件是24例2.5解齐次线性方程组(P87,例4)解：(其中为任意常数)25例2.6设有线性方程组(P88,Ex.4(1))问取何值时，此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解？解：26方程组有唯一解；(2)当时，方程组无解；(3)当时，方程组有无穷多个解.27第三章线性方程组与向量的线性相关性线性方程组的理论是线性代数的

8、主要内容，一般问题的最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组.线性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一.本先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.本章重点：线性方程组的有解性的条件向量的线性相关性的基本概念与基本结论线性方程组的解的结构理论向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充)28§3.3向量的线性相关性在前