ch3 向量组的线性相关性与线性方程组

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1、第三章向量组的线性相关性与线性方程组一.单项选择题1.向量组线性无关的充分必要条件为()A.均不为零向量;B.中任意两个向量的分量不成比例;C.中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示;D.中有一部分向量线性无关.解:C.2.均为n维向量,则下列结论正确的是()A.若则线性无关;B.若对任意一组不全为零的数,都有则线性无关;C.若线性相关,则对任意一组不全为零的数,都有D.若,则线性无关.解:B.3.线性无关,则以下线性无关的是()A.B.C.D.解:C.对A中向量有,对B中向量有,22对D中向量有对C中向量有所以选择C.4.是两向量组,若存在两组不全为零的实数使得,则()A.都

2、线性相关;B.都线性无关;C.线性相关;D.线性无关.解:D.将已知等式变形得.5.设线性无关,线性相关,则()A.B.C.D.解:C.由已知得从而6.设可由向量组线性表示,但不能由(Ⅰ)线性表示,记(Ⅱ),则()A.不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示;B.不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示;C.可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示;D.可由(Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解:B.22设(*)则必有,否则与不能由线性表示矛盾.对(*)式变形即得可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组线性无关,也线性无关,则()A.,B.,C.,D.解:D.,线性无关ó,故选(D)8.设均为n阶非零矩阵,且,则和

3、的秩()A.必有一个等于零;B.都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n.解:B.由和得:方程组有非零解,所以,同理可得:故选B.9.设矩阵的秩为为m阶单位阵,下述结论正确的是()A.矩阵的任意m个列向量必线性无关;B.矩阵的任意一个m阶子式不等于零;C.若矩阵满足,则;D.矩阵通过初等行变换,必可化为的形式.解:C.若,则即:的列向量均为方程组的解.而即:为列满秩矩阵,所以,方程组仅有零解.亦即:2210.设有向量组则该向量组的极大线性无关组是()A.;B.;C.;D.解:B.以该向量组为列构造矩阵,对施行初等行变换:,初等行变换不改变列向量组间的线性关系.所以,为向量组的

4、一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组中,则下列结论成立的为()A.r=m时,方程组有解;B.r=n时,方程组有唯一解;C.m=n时,方程组有唯一解;D.r

5、是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解;C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解;D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解.解:A.设则所以,(I)的解是(II)的解;反之,设则为一个列向量,所以必有:.22亦即:(II)的解是(I)的解.因此,选A.14.是非齐次线性方程组的两个不同解,是对应导出组的基础解系.为任意常数,则的通解为()A.B.C.D.解:B.线性无关,并且是导出组的解,所以为导出组的一个基础解系;为的特解,故选(B).15.设为四元线性方程组的三个解向量,且,,,c为任意常数,则的通解为()A.B.C.D.解:C.为的一个

6、特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且为导出组的一个非零解,故的通解为.16.齐次线性方程组=若存在三阶非零方阵满足,则()A.=-2,且

7、

8、=0;B.=-2,且

9、

10、≠0;C.=1,且

11、

12、=0;D.=1,且

13、

14、≠0.解:C.的三个列向量均为的解向量,即方程组有非零解,故

15、

16、=-(=0,从而=1;22当=1时,r()=1,故基础解系包含两个向量,矩阵的三个列向量必线性相关,所以

17、

18、=0.17.若均为方程组的解,则为()A.,B.,C.,D.解:A.解一:线性无关,故基础解系的秩≥2,从而r()=1,答案为(A);解二:令,一一验证可得(A)中矩阵满足,故选(A).18.已知为三阶非零阵

19、,且则()A.的秩必为1;B.的秩必为2;C.的秩必为1;D.的秩必为2.解:C.若,则必有小于或等于方程组的基础解系所包含向量个数.从而又因为为三阶非零阵,所以若则此时必有即必有若则此时必有即必有或所以应选C.19.设则三直线其中交于一点的充分必要条件为()A.线性相关;B.线性无关;C.D.线性相关;线性无关.22解:D.解一:三直线有一交点,说明线性无关,可由线性表示.故选(D);解二:方程组存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相