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1、第4章向量组与线性方程组的解的结构4.1向量组及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩4.4线性方程组的解的结构即矩阵4.1向量组及其线性组合4.1.1维向量的概念1．维向量的定义个有次序的数维向量，这个数称为该向量的分量，第个数称为第个分量（或第个坐标）．行向量列向量即矩阵2．零向量3．负向量4．向量的相等5．向量组同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组4.1.2维向量的线性运算1．加法与数乘为任意实数，则2．加法与数乘的运算规律（略）注:利用向量的运算,对于方程组则4.1.
2、3向量组的线性组合与线性表示1.定义2(1)给定向量组,对于任何一组实数,表达式称为向量组的一个线性组合，称为该线性组合的系数.(2)给定向量组和向量,如果存在一组实数,使则称是向量组的线性组合，或称可由向量组线性表示.2.定理1可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩注：设可由向量组唯一线性表示的充分必要条件是例1试问能否由线性表示？若能，写出具体表示式.解:所以能否由惟一线性表示，且例2因为,所以,不能由线性表示.解:试问能否由线性表示？若能，写出具体表示式.4.1.4向量组的等价1.定义
3、3设两个向量组若向量组中的每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示.若向量组与向量组可以互相线性表示，则称向量组与向量组等价.2.定理2设向量组与向量组等价向量组可由向量组线性表示推论：维向量组4.2向量组的线性相关性4.2.1线性相关与线性无关的定义1.定义4设有,若存在一组不全为使称向量组线性相关,否则称为线性无关.线性无关,则上式当且仅当时才成立．2.由定义4可知，(1)仅含一个零向量的向量组必线性相关;(2)仅含一个非零向量的向量组必线性无关;(3)任何包含零向量在内的向量组必线性
4、相关;(4)向量组线性相关齐次线性方程组有非零解换言之,若,则零的数4.2.2向量组线性相关的充分必要条件定理3向量组线性相关线性无关向量组例3讨论向量组的线性相关性.解:由于,从而线性相关.例4：已知向量组，问是否线性相关.，所以，是线性无关.解：例5：设向量组线性无关，又设，证明向量组也线性无关.证明：设有使得因为线性无关，故有此时，线性方程组只有零解也即向量组线性无关.定理4向量组线性相关有一个向量可以由其余个向量线性表示.向量组中至少注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.4.2.3线
5、性相关性的判断定理定理5（1）若线性相关,则也线性相关;（2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关.定理6线性无关,而若线性相关,则能由线性表示，且表示式是惟一的.定理7设有两个向量组若向量组线性无关，则向量组也线性无关；若向量组线性相关，则向量组也线性相关.注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组．当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程）是线性无关（或线性独立）的.4.3向量组的秩4
6、.3.1向量组的极大无关组与秩的定义1.定义5设有向量组,如果在中能选出个向量满足⑴向量组线性无关；⑵向量组中任意一个向量都能由线性表示那么称是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数,称为向量组的秩.注:(1)只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩为0．(2)任何非零向量组必存在极大无关组．(3)向量组的极大无关组与向量组本身等价．(4)线性无关向量组的极大无关组就是其本身.(5)向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的,等于向量
7、组的秩．列即是列向量组的一个极大无关组，4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系定理8矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.结论:若是矩阵的一个最高阶非零子式，则所在的所在的是行向量组的一个极大无关组.行即4.3.3利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组将所讨论的向量组的每一个向量作为矩阵的列写成一个矩阵,并对此矩阵施行初等行变换,化为行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩,也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数);行阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应的向量构成的向量
8、组就是向量组的一个极大无关组.例6解:将向量组构成矩阵,进行初等行变换从而向量组的秩为3,为其一极大无关组.例7解将向量组按列排成矩阵,用初等行变换将化为行阶梯形矩阵故是其一个极大无关组.4.4线性方程组的解的结构4.4.1齐次线性方程组的解的结构性质1若为(2)的解,则为(2)的解.性质2若为(2)的解,为实数则为(2)的解.,称为(2)的解向结论:将方程组(2)的全体解所组成的集合记作量组,如果能找到解向量组
