线性方程组及向量组的线性相关性

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1、实验11线性方程组及向量组的线性相关性实验目的1.掌握齐次线性方程组的通解的求解方法2.掌握非齐次线性方程组的特解和通解的求解方法3.利用向量组线性相关与无关的几何演示，加深理解线性相关与线性无关的概念4.掌握向量组的秩和最大线性无关组的计算方法5.理解线性方程组的解的结构的儿何意义实验准备1.复习线性方程组的解法及其表示；2.复习向量的基本运算、向量的线性组合及线性表示3.复习向量组的线性相关（无关）、向量组的秩和最大线性无关组的求法等4.复习向量空间的基及维数实验内容1.线性方程组的解法2.向量的基本运算及线性组

2、合3.向量组的线性相关性的判别4.向量组的秩和最大线性无关组的求法5.线性方程组的解的结构软件命令表11-1Matlab向量操作命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1,变量名2,…定义符号变量symsym(，x1,…)定义符号变量rankrank(A)求矩阵A的秩rrefrref(A)求矩阵A的行最简形Ab求人兀=方的解nullnull(A,'r');注：用于符号计算含义有变求Ax=0的基础解系formatformatrat指定有理数输出格式1insolvex=linsolve(A,B,opt)解线性方

3、程组Ax=B绘图指令plot、surf、patch等实验示例求下列线性方程组的通解x+2y+3z=01.<4兀+5y+6z=0；7兀+8y+9z=02x-y+3z=l4.<2x+2z=6；4x+2y+5z=7【例11.1］线性方程组的解法2x-y+3z=14x-2y+5z=42x-y+4z=0■兀+2y+3z=02.<2x+4y+6z=0；3.3兀+6y+9z=0x+2y+6z+7w=67x+9y+7z+14w=117x+2y+5z+9w=793兀+6y+16z+25w=225【原理】线性方程组Ax=b的求解可以分为

4、两类：一类是齐次线性方程组；另-类是非齐次线性方程组。无论哪一种类型，都需要先判断出该方程组的解的分布情况：唯一解？无解？无穷多解？，然后在进行求解。具体如下(n为未知量的个数):【判别原理】:(1)若R(A)=R(A,b)=n.则方程组Ax=b有唯一解;(2)若R(A)=R(A,b)

5、方有唯一解时，可采用如下两种方法之一•利用命令：x二Ab；•利用命令：x=linsolve(A,b)；•利用LU、QR、Cholesky分解命令:x=U(Lb):x二Q(Rb)；x二R(R'b)Step2:当Ax=b有无穷多解时，可以采用下述方法•利用命令：null(A,'r')；•第一步，利用z=nul1(A,5r)求出4r=0的基础解系；第二步，利用Ab或者rref([A,b])或者1insolve(A,b)求出Ax=b的一个特解；第三步，利用Ax=b的解的结构理论构造处通解。Step3：(3)当

6、Ax=b有无解时，可以采用下述方法求出最小二乘解•命令:x=(A'*A)(A'*b)；•命令：x=linsolve(A,B,opt)【程序】：【程序1】：LinearSysYesorNo.m%调用方式：str=LinearSysYesorNo(A,B)%判断线性方程组Ax二b是否有解%输入：系数矩阵A,右端矩阵B%输出：解的判别的三种情况：唯一解、无解、无穷多解屮的一种。【程序2】：SolvoLinoarSys.m%调用方式：x=SolveLinearSys(A,b)%求解线性方程组Ax二b%输入：A,b%输岀：x

7、%说明：利用髙斯消元法求解线性方程组Ax=b【程序3］：ExmllDemo02.m%调用前面的函数，具体求解。【例11.2］参数方程求解试就参数2的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：y+z=1x+y+Az=A2【方法一】：根据方程组的特殊性：m二n,先利用Cramer法则确定唯一解；然后分别讨论无解和无穷多解的情况。symsa;A=［a11;1a1;11a］;B=［l;a;a^2］;det(A)factor(det(A))solve(det(A))因此，由Cramer法则，当(2+2)(2—1尸工0,即2工—2

8、,2工1时，有唯一解；下面讨论其否定情况，即2=-2或2=1时原方程组的解的情况：当2=-2时，将；1=一2代入上面A和B中的a,利用【例12.1】中的函数计算:A二［一211;1—21;11-2］;B二［1;-2;4］;LinearSysYesorNo(A,B)SolveLinearSys(A,B)可得此时，方程组无解，最小二乘解为［1;2;