模板-向量组的线性相关性与线性方程组

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1、第三章向量组的线性相关性与线性方程组第一节n维向量第二节　线性相关与线性无关第三节　线性相关性的判别定理第四节　向量组的秩与矩阵的秩第五节　矩阵的初等变换第六节　初等矩阵与求矩阵的逆第七节　向量空间§1n维向量定义1n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量，简称向量。用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量列向量返回上一页下一页数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。设k和l为两个任意的常数，为任意的n维

2、向量，其中返回上一页下一页定义2如果和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为。定义3向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）称为与的和，记为。称向量（ka1,ka2,…,kan）为与k的数量乘积，简称数乘，记为。返回上一页下一页定义4分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）称为的负向量，记为。向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质：返回上一页下一页满足（1）—（8）的运算称为线性运算。返回上一页下一页§2线性相关与线性无关矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向

3、量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。n维列向量组可以排成一个n×s矩阵其中为由B的第j列形成的子块，称为B的列向量组。返回上一页下一页定义5向量组称为线性相关的，如果有不全为零的数k1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就称线性无关。当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使返回上一页下一页当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵，使也可用矩阵形式表示：返回上一页下一页若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有

4、返回上一页下一页例判断向量组的线性相关性。解假设存在一组常数k1,k2,…,kn使得所以即k1=k2=…=kn=0因此线性关。返回上一页下一页例设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证假设存在一组常数k1,k2,k3使得由线性无关，故有由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。返回上一页下一页定理1向量组（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。证充分性：设中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设所以线性相关。必要性：如果线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,ks，使设k1≠0,那么即能由线性表出。返回上一页

5、下一页例如，向量组是线性相关的，因为对于只有两个向量a，b的向量组，由定理可得，a，b线性相关的充分必要条件是a，b的对应分量成比例。返回上一页下一页定理2设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。证由于线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,kt,k，使即可由线性表出。由线性无关有k≠0。（否则，　　　　线性相关）返回上一页下一页设为任意两个表达式。且线性无关得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht因此表示式是唯一的。返回上一页下一页定义7如果向量组中每个向量都可以由线性表出，就称向量组可由线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就

6、称它们等价。每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出。返回上一页下一页向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出。因而，向量组可以经向量组线性表出。如果有返回上一页下一页向量组的等价具有下述性质：(1)反身性：向量组与它自己等价；(2)对称性:如果向量组与等价，那么也与等价。(3)传递性:如果向量组与等价，而向量组又与等价,那么向量组与等价返回上一页下一页§3线性相关性的判别定理定理3有一个部分组线性相关的向量组线性相关。设这个部分组为。则有不全为零的数k1,k2,…,kr，使证设向量

7、组有一个部分组线性相关。因此也线性相关。推论含有零向量的向量组必线性相关。返回上一页下一页定理4设p1,p2,…,pn为1，2，…，n的一个排列，和为两向量组，其中即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。证对任意的常数k1,k2,…,ks，返回上一页下一页上两式只是各分量的排列顺序不同，因此当且仅当所以和有相同的线性相关性。返回上一页下一页(2)如果线性无关，那么也线性无关。定理5在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。(1)如果线性相关，那么也线性相关。证对列向量来