概率论与数理统计第6讲 330

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1、概率论与数理统计第6讲（夜大）第二章随机变量及其分布第一节随机变量概率与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律的。为了抽象到数学的推导和计算，必须要把随机事件数量化。当我们进行某种实验和观测时，由于随机因素的影响，试验结果也不一样，我们把一个随机试验的不同结果用一个变量来表示时，就是随机变量。顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件，机会表现为实验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。一个简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，2，…，6等6个值。到底是哪一个，要等掷了骰子以后才

2、能知道。因此也可以说，随机变量就是试验结果的函数。再比如，一开始我们介绍的抛掷硬币三次的随机试验，如果我们关心出现正面的情况，我们就可以用一个变量来表示出现正面的次数，样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX值32211110这样，变量取不同的数，就对应不同的样本点，从而我们就通过这个变量建立了样本点和数字之间的一个对应关系，也就是数学中的函数关系。定义：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间S上的实值单值函数。称为随机变量。随机变量建立了样本点与实数之间的单值对应关系。随机变量的取值随试验结果而定，而试验的各个结果的出现是有一定概率的。因而随机变量的取值就有一定的概率。例

3、如，上面例子中类似地，有一般地，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成（）。它表示事件，即B是由S中使得的所有样本点所组成的事件，此时有随机变量的特点：（1）随机变量的取值具有随机性。随机变量是随着试验结果而变的量。在一次实验中，若出现样本点，则X就取实数值X（6）。由于在一次实验中出现哪一个样本点事先不能预知，因而X的值也就不能事先确定。（2）随机变量的取值具有一定的概率，即具有统计规律性。（3）随机变量是定义在样本空间S上的函数。与普通函数相比，它们都可以看成是随自变量变化的因变量，其值域也都是实数或其子集。但是，普通函数的定义域是实数集，而随机变量的定义域是样本空间S。也就是说，随机变

4、量是从样本空间到某实数集的一个单值映射。第二节离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。容易知道，要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率。设离散型随机变量X所有可能取的值为，X取各个可能值的概率，即事件的概率，为由概率的定义，满足如下两个条件：（1）；（2）。（2）是由于是必然事件，且故即。我们称上述表达式为离散型随机变量X的分布律。分布律也可以用表格的形式表示：这个表格直观地表示了随机变量X取各个值的概率的规律。X取各个值各占一些概率，这些概率加起来是1，可

5、以想象成：概率1以一定的规律分布在各个可能值上。这就是上式称为分布律的缘故。例1常数时，为离散型随机变量的分布律。6（1）2；（2）1；（3）1/2；（4）3解：因为数列为离散型随机变量的分布律，所以有从而。所以选（2）。下面介绍三种重要的离散型随机变量。（一）（0—1）分布设随机变量X只可能取值0和1，它的分布律为则称X服从（0—1）分布或两点分布。（0—1）分布的分布律可以写成01对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在S上定义一个服从（0—1）分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。例如对新生婴儿的性别进行登记，检查产品是否合格，抛掷硬币试验等等都可以用（0—1

6、）分布的随机变量来描述。（0—1）分布是经常遇到的一种分布。（二）贝努利试验、二项分布设试验E只有两个可能结果：和，则称E为贝努利试验。设，此时。将E独立地重复进行次，则称这一串重复进行的独立试验为重贝努力试验。需要说明的是，这里的“重复”是指在每次实验中保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以表示第次试验的结果，为或，，“独立”是指6重贝努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。以X表示重贝努利试验试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为0，1，┅，。由于各次试验相互独立，因此事件A在指定的次试验中发生，在其他

7、次试验中A不发生的概率为这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在次试验中A发生次的概率为，记，即有显然；注意到刚好是二项式的展开式出现的那一项，故我们称随机变量X服从参数为的二项分布，记为。特别，当时，二项分布就化为（0—1）分布。例2从学校到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是1/3。（1）设X为遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律；（2）令Y表示汽车行驶过程