[理学]概率论与数理统计第6讲

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1、概率论与数理统计第六讲浙江传媒学院电子信息学院孙永平第三章随机向量有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。3.导弹在空中位置——坐标(X,Y,Z)。1.某人体检数据——血压X和心律Y；例如：2.钢的基本指标——含碳量X，含硫量Y和硬度Z；一般地,将随机试验涉及到的n个随机量X1,X2,…,Xn放在一起，记成(X1,X2,…,Xn)，称n维随机向量(或变量)。由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。§3.1二维随机向量及其分布函数设试验E的样本空间为Ω，X=X()与Y=Y()是定义在Ω上的两个随机变量,由

2、它们构成的向量(X,Y)称为二维随机向量。二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X和Y的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X,Y)作为一个整体来看待，加以研究。为此，首先引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念。定义二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为取定x0,y0R=(-∞,∞),F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标。由上面的几何解释，易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1

3、(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1).说明二维分布函数F(x,y)的三条基本性质(1).F(x,y)是变量x,y的非减函数；即yR给定，当x1

4、有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。离散型随机变量X的概率分布:离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布:联合概率分布也可以用表格表示。表3.2.1二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为pij，i=1,2,,j=1,2,.于是,(X,Y)的联合分布函数为例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。令:X=1：若第一次取到的产品是次品，X=0：若第一次取到的产品是正品，Y=1：若第二次取到的产品是次品，Y=0：若第二次取到的产品是正品。求:二维随机向量(X,Y)的概率分布。解：(X,Y)

5、所有可能取的值是：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。P{X=0,Y=0}=P{第一次取正品,第二次取正品},利用古典概型，得：P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15。同理，得P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30,P{X=1,Y=0}=(37)/(109)=7/30,P{X=1,Y=1}=(32)/(109)=1/15。例2：为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中。X=1——若被调查者不吸烟，X=0——若被调查者吸烟，Y=1——若被调查者未患肺癌，Y=0——若被调查者患肺癌。从表

6、中各种情况出现的次数，计算各种情况出现的频率，就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布:P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996。练习：把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解:(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2

7、)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下3.3.1概率密度设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数,简称概率密度。.§3.3二维连续型随机向量连续型随机变量X的概率密度:连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度:对连续型随机向量(X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：在f(x,y