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1、科目高等数学4.4函数的极值授课日期第二周课时2班级10高客服01班、10高物流01班授课方式讲授法、练习法作业题数2拟用时间60分钟教学目的1、了解函数驻点、极值的概念。2、掌握求函数极值的步骤。3、会求函数的极值。选用教具挂图三角板重点掌握求函数极值的步骤。会求函数的极值。难点求函数的极值教学回顾函数单调性的判别说明10高物流与10高客服课时安排不同，所以10高物流班级的授课时间会有所调整授课人：张冠群审阅签名：§4.4函数的极值回顾与导入：前面学习了如何利用导函数的符号判断函数的单调性，即：如果在(a,b)内：f¢(x)>0，y=f(x)在[a,b]上单调
2、增加；f¢(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.解题时不难发现，如此判断单调性，结果中会出现一个特殊的点，即：f¢(x)=0的点，那么类似的点有什么特殊的性质？新课讲授：一、函数的极值及其求法极值的定义:定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0Î(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.说明函数的极大值和极小值概念是局
3、部性的．如果是函数的一个极大值，那只是就附近的一个局部范围来说，是的一个最大值；如果就的整个定义域来说，不见得是最大值．关于极小值也类似．图1在图1中，函数有两个极大值：、，三个极小值：、、，其中极大值比极小值还小．就整个区间来说，只有一个极小值同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值．从图中还可看到，在函数取得及极值处，曲线上的切线是水平的．但曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值．例如图中处，曲线上有水平切线，但不是极值．极值与水平切线的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.定理1(必要条件)设函数f
4、(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f¢(x0)=0.驻点:使导数为零的点(即方程f¢(x)=0的实根)叫函数f(x)的驻点.定理１就是说:可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来,函数f(x)的驻点却不一定是极值点.考察函数f(x)=x3在x=0处的情况.定理２(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续,在x0的左右邻域内可导.(1)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)>0,在x0的某一右邻域内f¢(x)<0,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果在x0的某一左邻域内f¢(x)<0,在x0的某
5、一右邻域内f¢(x)>0,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果在x0的某一邻域内f¢(x)不改变符号,那么函数f(x)在x0处没有极值.定理2也可简单地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f¢(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f¢(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得极小值;如果f¢(x)的符号并不改变,那么f(x)在x0处没有极值(注:定理的叙述与教材有所不同).确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f¢(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察f¢(x)的符号在每个驻点和不可导点的
6、左右邻近的情况,以便确定该点是否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);(4)确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数的极值.解(1)f(x)在(-¥,+¥)内连续,除x=-1外处处可导,且;(2)令f¢(x)=0,得驻点x=1;x=-1为f(x)的不可导点;(3)列表判断x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)f¢(x)+不可导-0+f(x)↗0↘↗(4)极大值为f(-1)=0,极小值为.定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f¢(x0)=0,f¢¢(x0)¹0,那么(1)当f¢¢(x0)<0时,
7、函数f(x)在x0处取得极大值;(1)当f¢¢(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值;证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保号性,当x在x0的足够小的去心邻域内时,.但f¢(x0)=0,所以上式即.从而知道,对于这去心邻域内的x来说,f¢(x)与x-x0符号相反.因此,当x-x0<0即x0;当x-x0>0即x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.类似地可以证明情形(2).简要证明:在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,f¢(x0)=0,按二阶导数的定义有.根据
8、函数极限的局部保号性,在
