专题2 几何问题 教师版 02

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1、6.（2012广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB×CE=2DP×AD．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。∵AB=AC，∴D是BC的中点。（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。∵AB=AC，AD=CD，∴∠B

2、AD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。∴。∴。∵BC=2BD，∴，即。∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。∴，即AB•CE=2DP•AD。7.（2012贵州毕节14分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠F=，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。【答案】（1）证明：连接OD，∵D是的中点，∴∠BOD=∠A。∴OD∥A

3、C。∵EF⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°。∴EF是⊙O的切线；（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=，AE=4，∴。设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。连接BC，则∠ACB=90°。∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。∴⊙O的半径为3，AC的长为2。8.（2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA

4、⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。∴A

5、B=AC。（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。又∵PC=，∴。由（1）AB=AC得，解得：r=3。∴AB=AC=4。∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则OE=AC=AB=。又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=≤r，∴r≥。又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5．9.（2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角

6、线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．（1）当点G与点D重合时，求x的值；（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．【答】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。∵BC=4，∴x=AB=BC=4。（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴。∴。∴。∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得，即。两式相加，得。又∵AC⊥B

7、G，∴在Rt△ABE中，。∴，解得（已舍去负值）。∴。∴在Rt△CEF中由勾股定理得。∴。∴。10.（2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2。∵CD⊥PQ，

8、∴∠PQC=∠PQD=90°。∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD。∴，即。（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=。∴∠CPQ=60°。∵在Rt△PDQ中，PD=2