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1、1、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.解：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以,所以，为平行四边形,……………….2分得，……………….3分又因为平面PFB，且平面PFB,……………….4分所以DE∥平面PFB.……………….5分（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,可得如下点的坐标：P(
2、0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)则有：……………….6分因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，……………….7分设平面PFB的一个法向量为，则可得即令x=1,得，所以.……………….9分由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得:14,……………….10分解得a=2.……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为.……………….13分2、如图，在四棱锥中，底面是棱形，平面，，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）当，且时，求直线与平面所成角的大小．（Ⅰ）证
3、明：如图，取中点，连结、，因为为的中点，所以∥，且，因为为边的中点，所以且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，平面，所以直线．……………………………5分（Ⅱ）证明：如图，连结，相交于点，因为，所以．因为四边形是菱形，所以．14又，所以．又平面，所以平面平面．……………………………10分（Ⅲ）解：如图，连结，因为，所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角．设，由，可知，，所以在中，即直线与平面所成的角为.……………………………14分3、如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）
4、求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小．（Ⅰ）证明：∵，分别是线段，的中点，∴//．………………………2分又∵平面，平面，∴//平面．……………………………4分（Ⅱ）解：为的中点，且，，又底面，底面，．又四边形为正方形，．14又，平面．……………………………………7分又平面，．……………………………………8分又，平面．……………………………………9分（Ⅲ）平面，平面，平面平面，平面，平面平面，，平面，，分别是线段，的中点，//，平面．平面，平面，，，……………………10分就是二面角的平面角．……………………12分在中，，所以二面角的大小为. ……
5、…14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，,，，，.………………2分（Ⅰ）证明：∵，，∴,∵平面，且平面，……………………4分∴//平面.……………………5分（Ⅱ）解：，，，……………………6分14……………………8分，又，平面.………………………9分（Ⅲ）设平面的法向量为,因为，，则取………………………………12分又因为平面的法向量为所以…………………13分所以二面角的大小为．…………………14分4、（西城）w在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°,，.（I）求证：平面；（II）求证：平面；（III）设为侧棱上一点
6、，，试确定的值，使得二面角为45°.17、解：（Ⅰ）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，…………………2分14ABCDEPyxzQF平面，平面，所以平面.…………………4分（Ⅱ）平面底面，，所以平面，所以.…………………5分如图，以为原点建立空间直角坐标系.则…………………6分，，所以，，……………8分又由平面，可得，所以平面.…………………9分（Ⅲ）平面的法向量为，…………………10分，，所以，…………………11分设平面的法向量为，，，由，，得所以，，所以，…………………12分所以，………
7、…………13分注意到，得.…………………14分5、如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，，且为AC中点。（I）证明：平面ABC；14（I）求直线与平面所成角的正弦值；（II）在上是否存在一点E，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置。解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，所以.………………1分又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面.………………4分（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又所以得:则有：………………6分设平面的一个法向量为，则有，令，得所以.………………7分.
8、………………9分因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.（Ⅲ）设………………11分14即，得所以得………………12分令平面，得，………………13分即得即存在这样的点E，E
