列表法在分部积分中的应用

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1、万方数据第18卷第5期2002年10月雁北师范学院学报JOURNALOFYANBEINORMALUNⅣERSITYV01．18No．50ct．2002文章编号：1009—1939(2002)05一0061一02列表法在分部积分中的应用郭兴忠(大同市商业学校，山西大同037008)摘要：分部积分法是一种很重要的积分方法．有些积分．必须反复使用分部积分公式才能求出结果，计算冗长繁杂．列表法就可以解决这一问题．关键词：分部积分法；列表；方法中图分类号：0172．2文献标识码；A在不定积分的计算中，分部积分法是很重要的积分方法之一．但是有许多积分，必须反复使用分部广积分公式ludv

2、一“口一Ivdu，才能计算出结果，计算冗长繁杂，费时费力，极易出现错误．如果使用列表法来解，不仅运算简捷，而且直观易懂．列表法步骤：(1)令“和口’：由具体给定的被积函数恰当选取“和口’．(2)列表：表中第一行是口及其各阶导数，第二行是127及连续对127积分后的函数．根据不同的积分类型，确定表格的列数．(3)直接写出结果：积分结果可写为“的第咒列与口7的第咒+1列积的代数和形式，奇数项取正，偶数项取负．r例1计算l(z3+2x)sinxdxJ解令“=一+2x，127一sinx根据分部积分法的一般计算方法rl(z3+2x)sinxdx—I(z3+2x)d(--COS．T)一

3、J广@3+2z)(一cosx)一I(一cosx)d(x3+2x)J—03+2x)(一COS．T)一(3x2+2)(一sinx)+收稿日期：2002—05—08作者简介；郭兴忠(1962一)，男，山西怀仁人，讲师．6x(cosx)——6sinx+C．通过分析，可以发现如下规律：例1不定积分的结果是两项乘积的代数和，乘积的第一项是“及其各阶导数，而第二项，则是连续对口’进行积分后所得到的函数．列表如下：对于这种类型的积分，表格在“的导数为零时终止，积分结果可按上表直接写出．其最后结果为：广I(z3+2x)sinxdx一(3x2—4)sinx—03一J4x)cosx+C．广例2计

4、算I(一一3)cos2xdx。解：令比=z2—1，口’=cos2x列表如下：积分结果可直接写出：万方数据·62·雁北师范学院学报．f。2—3)cos2zdz=(z2—3)虿1sin2z一是该列两个函数乘积的积分．2z(～ICOS2z)+2(一百1sin2z)+c=丢(2z一17)sin2x+寺zcos2x+Cv例3计算卜2矿dz．解：令摊一z2，口’=矿列表如下：积分结果：卜2已钮z—z2e。一2z矿+2矿+c一矿。2—2z+2)+C例4解：计算-f矾nz虹令“=lnx，口’。z3列表如下：可以发现，表中第三列两个函数的积z3／'4是一个容易计算的积分，这时可直接计算出结果

5、．-fz3lnxdz—Inz({．224)一'fz一1(百1z4)dz一{1nz一志∥+C一壶一(4lnz一1)+c上例说明，当表中某列两个函数的积是一个容易计算的积分时，停止列表．此时，积分可写为两部分，前半部分仍然按列表法步骤(3)写出，后半部分例5计算卜扯sin2z如．解：令“2口缸，掣’一sin2x列表如下：从表中可以看出，第二列和第四列函数乘积相同(仅差一个常数)，按分部积分法的常规算法，原来的积分出现，计算进入循环．因此，列表在这里终止．积分为：Ie缸sin2xdx=8缸(一cos2x／2)一3e拈(一sin2x／4)+9(一1／4)IeUsin2xdx移项得：

6、譬卜耻sin2zdz一一虿1e”cos2z+{口扯sin2z+c，刈eaXsin2xdx一去33eax(3sin2x一2cos2x)+C由以上几例可见，我们感到非常棘手的分部积分法，在应用列表法之后，运算大大简化，的确是一种颇为有效的解题方法．如果我们学习了分部积分法的一般公式解法之后，在此基础上再掌握列表法，定会受益非浅．参考文献[1]赵树．微积分[M]．北京：中国人民大学出版社，1990．[23同济大学数学教研室．高等数学(上册)[M]．第3版．北京：高等教育出版社，1990．[3]陈传章．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1989．TheApplicationof

7、TabulationinIntegrationbyPartsGUOXing-zhong(DatongCommercialTechnicalSchool，DatongShanxi，037008)Abstract：Theintegrationbypartsisoneofthemostimportantintegralmethod．SincesomeintegralCalculsneedthepartialintegration．formulamanytimestomakearesult，whichwillbelongw