积分因子法在微积分学中的应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2l卷第2期内江师范学院学报N0．2VoI．2lJOURNALOFNEIJIANGTEACftERSCOLLEGE·13·积分因子法在微积分学中的应用曾德强，吴开腾，覃燕梅(内江师范学院数学系，四川内江641112)摘要：讨论了解常微分方程的积分因子法在极限理论、微分学、积分学中的一些应用．关键词：积分因子；极限；微分学，积分学中图分类号：O172文献标识码：A文章编号；1671—1．785(2006)02—0013一O3定义[]如果存在连续可微的函数=(，)≠0，使得(，)M(

2、，y)dx+(。y)N(。y)dy为某一函数的全微分，则称一(，)为M(x，y)dx+N(x，y)dy的积分因子．通过寻找积分因子解常微分方程M(x，y)dx+N(，y)dy=0的方法称为积分因子法．积分因子法是解常微分方程的重要方法之一．本文将这种方法的应用范围进行了推广，用于解决极限理论、微分学、积分学中的一些问题．1积分因子法在极限理论中的应用定理1设，)在[，+oo)上可微，Ⅳ()在[+。。)上有连续导数．若lim(Ⅳ())=+。。且lim(，()+N(x)f())=A，其中A为有限数或无穷．则1im_厂()=A．证明易

3、知．『：m是，()d+Ⅳ()d，()的积分因子，于是⋯：(Ⅳ()丘at_厂())，一——再爵一叉由于limBm：+。。，且lim(，()+N(x)f，())一A，则由洛毕塔法则z有limf(x)=一，．(Ⅳ()』：，())，■焉(Ⅳ()鲁dt，())，(Ⅳ，()丘+Ⅳ()(dI)()，．(Ⅳ()与i产dr，())，——写=lim(_厂(z)+N()，())=A．证毕．注1积分因子m巧妙的将已知和结论联系起来，成为了定理1证明的关键．推论1设，()在[a．+o。)内可微，且lim(，()+kf())=A．其中是>O，A为有限数或无

4、穷．证明证明令Ⅳ()=k，显然，Ⅳ()在[，+oo)上有连续导数．且收稿日期：2005—09—13作者简介：曾德强(1979)，男，四川宜宾人，内江师范学院助教维普资讯http://www.cqvip.com·14·内江师范学院学报第2l卷第2期lim(N)丘d，)一lim(})：+。。．‘+一+∞由定理1可知lim，()=A．证毕．例1设，)在(O．+o。)内可微，且lira(，)+f())一0，证明z+口。lim，()=0．证明令一1，A=0，由推论1知命题成立．证毕．洼2此例的其它解法读者可参看文献Ⅲ．2积分因子法在微分学

5、中的应用定理2设，)在[d，6]上非负连续。在(d，6)内可导，且，(d)=0，若存在[d，6]上连续函数Ⅳ()，使得lf)l≤N)，()(n<<6)．则，)墨O(a≤z≤6)．证明由N()在[d。6]上连续．则存在常数>0。使得lⅣ)l≤(d≤≤6)．于是lf)I≤N()，)≤^()(口<<6)．(*)考虑Mf(x)dx—dr(x)，易知e一是其积分因子，则有Mr(x)一f)=~-()一f())一一，))——一而由，)>0。(d<<6)和(*)可知Mf(x)一f()≥lf()l—f()≥0故≥0即一~zf(x))≤0上式两端从

6、a到t(aO(a<<6)．证明不存在

7、常数>O。使得l铬l≤cn<0，使得}铬l≤(n<O(a<<6)矛盾．证毕．注5此例的其它解法读者可参看文献．3积分因子法在积分学中的应用例3设，)是(口，+。o)上的连续函数，且lf(sc)I≤正Il，(f)Idt．≥nJ日证明，()爵0(≥n)．维普资讯http://www.cqvip.com2006年4月曾德强。吴开腾。覃燕梅t积分因子法在微秘分学中的应用·15·证明令r．Ⅳ()=k，，()=lI，(f)Idt．z≥nJ则由已

8、知条件可得IF()I≤kF(x)，≥n．由定理2注3可得F()EO(x≥d)．即rF()一lI厂(f)Idt拦0．≥dJI．故厂()E0(≥n)．注4此例的其它解法读者可参看文献．例4设函数厂()在[o，1]上具有连续导数，厂(o)=o，f(1)=1．证明rll