积分因子法在微积分学中的应用(1)new

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1、第21卷第2期内江师范学院学报No12Vol121JOURNALOFNEIJIANGTEACHERSCOLLEGE·13·积分因子法在微积分学中的应用曾德强,吴开腾,覃燕梅X(内江师范学院数学系,四川内江641112)摘要:讨论了解常微分方程的积分因子法在极限理论、微分学、积分学中的一些应用.关键词:积分因子;极限;微分学;积分学中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1671-1785(2006)02-0013-03[1]定义如果存在连续可微的函数L=L(x,y)≠0,使得L(x,y)M(x,y)dx+L(x,y)N(x,y)

2、dy为某一函数的全微分,则称L=L(x,y)为M(x,y)dx+N(x,y)dy的积分因子.通过寻找积分因子解常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方法称为积分因子法.积分因子法是解常微分方程的重要方法之一,本文将这种方法的应用范围进行了推广,用于解决极限理论、微分学、积分学中的一些问题.1积分因子法在极限理论中的应用x1-N’(t)定理1设f(x)在[A,+∞)上可微,N(x)在[A+∞)上有连续导数.若lim(N(x)e∫AN(t)dt)=+∞且x→+∞lim(f(x)+N(x)f’(x))=A,其中A为有限数或无穷

3、.则x→+∞limf(x)=A.x→+∞x1-N’(t)证明易知e∫AN(t)dt是f(x)dx+N(x)df(x)的积分因子,于是x1-N’(t)dte∫AN(t)(f(x)+f’(x))f(x)+N(x)f’(x)=x1-N’(t)dte∫AN(t)x1-N’(t)(N(x)e∫AN(t)dtf(x))’=x1-N’(t)e∫AN(t)dtx1-N’(t)又由于lime∫AN(t)dt=+∞,且lim(f(x)+N(x)f’(x))=A,则由洛毕塔法则[2]有x→+∞x→+∞x1-N’(t)N(x)e∫AN(t)dtf(x)li

4、mf(x)=limx1-N’(t)x→+∞x→+∞N(x)e∫AN(t)dtx1-N’(t)dt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=limx1-N’(t)x→+∞(N(x)e∫AN(t)dt)’x1-N’(t)(N(x)e∫AN(t)dtf(x))’=limx→+∞x1-N’(t)dtx1-N’(t)dt1-N’(x)(N’(x)e∫AN(t)+N(x)(e∫AN(t))()N(x)x1-N’(t)dt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=limx1-N’(t)x→+∞e∫AN(t)dt=lim(f(x)+N(x)f’(x))x→

5、+∞=A.证毕.x1-N’(t)注1积分因子e∫AN(t)dt巧妙的将已知和结论联系起来,成为了定理1证明的关键.推论1设f(x)在[A,+∞)内可微,且lim(f(x)+kf’(x))=A.其中k>0,A为有限数或无穷.证明x→+∞limf(x)=A.x→+∞证明令N(x)=k,显然,N(x)在[A,+∞)上有连续导数.且收稿日期:2005-09-13作者简介:曾德强(1979-),男,四川宜宾人,内江师范学院助教。·14·内江师范学院学报第21卷第2期x1-N’(t)xlim(N(x)e∫AN(t)dt)=lim(kek)=+∞

6、.x→+∞x→+∞由定理1可知limf(x)=A.x→+∞证毕.例1设f(x)在(0,+∞)内可微,且lim(f(x)+f’(x))=0,证明x→+∞limf(x)=0.x→+∞证明令k=1,A=0,由推论1知命题成立.证毕.[3]注2此例的其它解法读者可参看文献.2积分因子法在微分学中的应用定理2设f(x)在[a,b]上非负连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,若存在[a,b]上连续函数N(x),使得ûf’(x)û≤N(x)f(x)(a0

7、,使得ûN(x)û≤M(a≤x≤b).于是ûf’(x)û≤N(x)f(x)≤Mf(x)(a0,(a

8、,即f(t)≤0.又f(x)在[a,b]上非负连续,故f(x)≡0(a≤x≤b).证毕.注3由定理2的证明过程知当b=+∞时定理2仍然成立.注4定理2条件“f(x)在[a,b]在非负连续“改为f(x)在[a,b]上非正连续”定理2结论