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1、第18卷第5期雁北师范学院学报Vol.18No.52002年10月JOURNALOFYANBEINORMALUNIVERSITYOct.2002文章编号:1009-1939(2002)05-0061-02列表法在分部积分中的应用郭兴忠(大同市商业学校,山西大同037008)摘要:分部积分法是一种很重要的积分方法.有些积分必须反复使用分部积分公式才能求出结果,计算冗长繁杂.列表法就可以解决这一问题.关键词:分部积分法;列表;方法中图分类号:O172.2文献标识码:A在不定积分的计算中,分部积分法是很重要的6x(cosx)-6sinx+C.积分方法之一.但是有许多积
2、分,必须反复使用分部通过分析,可以发现如下规律:例1不定积分的结果是两项乘积的代数和,乘积的第一项是u及其积分公式∫udv=uv-∫vdu,才能计算出结果,计算各阶导数,而第二项,则是连续对v′进行积分后所冗长繁杂,费时费力,极易出现错误.如果使用列表得到的函数.法来解,不仅运算简捷,而且直观易懂.列表如下:列表法步骤:(1)令u和v′:由具体给定的被积函数恰当选取ux32+2x3x+26x60u和v′.v′sinx-cosx-sinxcosxsinx(2)列表:表中第一行是u及其各阶导数,第二行是v′及连续对v′积分后的函数.根据不同的积分对于这种类型的积分,
3、表格在u的导数为零时类型,确定表格的列数.终止,积分结果可按上表直接写出.其最后结果为:(3)直接写出结果:积分结果可写为u的第n列323∫(x+2x)sinxdx=(3x-4)sinx-(x-与v′的第n+1列积的代数和形式,奇数项取正,偶4x)cosx+C.数项取负.23例2计算(x-3)cos2xdx.例1计算∫(x+2x)sinxdx∫23解:令u=x-1,v′=cos2x解令u=x+2x,v′=sinx列表如下:根据分部积分法的一般计算方法33ux2-32x20∫(x+2x)sinxdx=∫(x+2x)d(-cosx)=33v′cos2xsin2x/2
4、-cos2x/4-sin2x/8(x+2x)(-cosx)-∫(-cosx)d(x+2x)32=(x+2x)(-cosx)-(3x+2)(-sinx)+积分结果可直接写出:收稿日期:2002-05-08作者简介:郭兴忠(1962—),男,山西怀仁人,讲师.·62·雁北师范学院学报2002年221是该列两个函数乘积的积分.∫(x-3)cos2xdx=(x-3)sin2x-23x例5计算∫esin2xdx.1112x(-cos2x)+2(-sin2x)+C=(2x-4843x解:令u=e,v′=sin2x17)sin2x+xcos2x+C.列表如下:22xue3x3
5、e3x9e3x例3计算∫xedx.2xv′sin2x-cos2x/2-sin2x/4解:令u=x,v′=e列表如下:从表中可以看出,第二列和第四列函数乘积相ux22x20同(仅差一个常数),按分部积分法的常规算法,原来v′exexexex的积分出现,计算进入循环.因此,列表在这里终止.积分为:积分结果:3x3x3x∫esin2xdx=e(-cos2x/2)-3e(-2x2xxxx2∫xedx=xe-2xe+2e+C=e(x-2x3xsin2x/4)+9(-1/4)∫esin2xdx.+2)+C.移项得:3例4计算∫xlnxdx.133x13x33x3esin2x
6、dx=-ecos2x+esin2x+解:令u=lnx,v′=x4∫24列表如下:3x13xC,则∫esin2xdx=e(3sin2x-2cos2x)+C.13ulnxx-1-x-2⋯由以上几例可见,我们感到非常棘手的分部积v′x3x4/4x5/20⋯分法,在应用列表法之后,运算大大简化,的确是一3种颇为有效的解题方法.如果我们学习了分部积分可以发现,表中第三列两个函数的积x/4是一法的一般公式解法之后,在此基础上再掌握列表法,个容易计算的积分,这时可直接计算出结果.定会受益非浅.314-114∫xlnxdx=lnx(x)-∫x(x)dx=44参考文献11414[
7、1]赵树.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,1990.lnx-x+C=x(4lnx-1)+C.41616[2]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].第3版.北上例说明,当表中某列两个函数的积是一个容京:高等教育出版社,1990.易计算的积分时,停止列表.此时,积分可写为两部[3]陈传章.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1989.分,前半部分仍然按列表法步骤(3)写出,后半部分TheApplicationofTabulationinIntegrationbyPartsGUOXing-zhong(DatongCommercialTechnicalS
8、chool,Datong
