曲线积分与曲面积分第六节高斯公式与散度

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1、第六节高斯公式与散度高斯公式二通量与散度1一高斯公式定理设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在上有连续的围成,的方向取外侧,则有2证明:设则3所以若是其它类型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个相应的区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：4例1计算曲面积分其中长方体解表面外侧。原式5例2计算为柱面域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3所围空间闭思考:若

2、改为内侧,结果有何变化?其中6例3.设为曲面取上侧,求解:作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标7例4利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,作辅助面8则9在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例5设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式10证:令由高斯公式得移项即得所证公式.11二通量与散度1通量速度为流速场，穿过有向曲面的流量电位移为电场，穿过有向曲面的电通量磁感应强度为磁场，穿过有向曲面的磁通量其中为有向曲面指

3、定侧的单位法向量。12定义设向量场为场内的一条有向曲面，称为向量场穿过有向曲面的通量。物理意义视为流速场，为上面元素，则流向正侧，流向负侧，13为在上的叠加（代数和）流向正侧的流向负侧的流向正侧的流向负侧的流向正侧的流向负侧的特别为封闭曲面的外侧流出的流入的，内有“泉”流出的流入的，内有“汇”流出的流入的，14例6求向量场穿过有向曲面的通量，其中为由所围物体表面的外侧。解152散度定义的闭曲面包围的区域为记体积为若当区收缩成点时,设有向量场在场内作包围点域极限存在,则称此极限值为在点处的散度,记为表明该点

4、处有正源,表明该点处有负源,说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且16表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.如果称向量场为无源场。称数量场为向量场的散度场。3散度的计算公式定理设向量场（其中一阶偏导数连续）则在点处的散度为17证由高斯公式由中值定理知，存在18高斯公式的向量表示式为例7置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.19散度的运算法则20