曲面积分与高斯公式

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1、曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出设有一块光滑的金属曲面S。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)处密度为f(x,y,z),并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M说明:第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面,S的方程是Z=f(x,y),当f1时可得空间曲面面积的计算公式,即例1.I=,S是半球面()。解:,,=2.第二类曲面积分(1)问题的提出磁通量问题。表示说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关,改变方向,积分变号(2)计算(代入法)用带入法计算时,一般应分成三个计算:①(

2、如果曲面积分取的上侧取号,如果曲面积分取的下侧取-号).类似有②(如果曲面积分取的前侧取号,如果曲面积分取的后侧取-号)。③(如果曲面积分取的右侧取号,如果曲面积分取的左侧取-号).例2:计算曲面积分,其中是圆面下侧。分析:由于在上,,所以评论:本题展示的化简积分的方法是非常重要的。例3:计算曲面积分,其中是旋转抛物面介于平面及之间的下侧分析:可直接代公式计算,而需要分成前后两部分分别计算.解:(略)(3)高斯公式设D是R内的一个有界闭区域,其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成,方向是外侧(相对于区域D而言)。又设函数P,Q,R都在D内关于x,y

3、,z有连续偏导数,则下列高斯公式成立:由Gauss公式可计算某些空间立体积分V=例4计算,式中S为球面的内侧解由高斯公式知=例5:计算曲面积分其中为曲面的上侧。【分析】(补面法)本题曲面不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式,而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面:,取下侧.则=其中为与所为成的空间区域,D为平面区域.由于区域D关于x轴对称,因此.又=其中.【评注】(1)注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算,但计算过程比较复杂。(2)本题中的三重积分计算用“先二后一”法

4、,若用“先一后二”法计算量是大的例6:计算外侧。分析:该题,它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义,偏导数不存在),所以不能用高斯公式。详解:由积分表达式及S的对称性知所以记上半球(上侧)为S上,记下半球(下侧)为S下所以

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