2015考研数学高斯公式计算曲面积分的技巧

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1、2015考研数学：高斯公式计算曲面积分的技巧来源：文都教育在考研数学中，曲面积分是数学（一）的重要考点之一，在往年的考试中经常出题；曲面积分也是考试难点之一，因为曲面积分的计算涉及到空间图形及其上的三重积分和曲面积分计算，这往往是很多考生感到困惑的地方。为了使大家掌握好这种方法，下面蔡老师对曲面积分计算中的一种重要方法——利用高斯公式计算曲面积分做一些分析总结，供各位考生参考。一、高斯计算公式高斯公式通过建立坐标曲面积分与三重积分之间的关系，将坐标曲面积分化为三重积分计算，具体说是：定理1．（单连通区域）设是由分片光滑曲面围成的单连通有

2、界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则，其中取的外侧；定理2．（多连通区域）设是连通有界闭区域，外面边界曲面为外侧，每一个“洞”的边界曲面为内侧，彼此不重叠，都在的内部，这些曲面都是分片光滑的，在上有连续的一阶偏导数，则注：每个“洞”的内侧，对于区域而言就是外侧（“洞”的内侧是在之外），如同平面上有“洞”的有界闭区域的边界曲线上的方向，在内部的“洞”的边界上是顺时针方向，而在区域的最外层的边界上是逆时针方向，二者方向正相反。二、高斯公式使用方法高斯公式的使用条件和方法：1）如果曲面必须是分片光滑的有界闭区域，并且在上无奇点（连续可偏导），

3、则可以直接运用高斯公式；2）如果曲面不是闭区域，可以通过加面将其扩展为闭区域，但加面后的闭区域不应含奇点；3）如果函数在上有奇点，则可以加圈包围奇点，然后在加圈后形成的新的闭区域上运用高斯公式。31）将曲面积分化成三重积分后，三重积分应该是比较容易计算的，否则不适合用高斯公式。三、典型例题例1.设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则注：2005年数一（4）解析：本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.=或者.例2.设曲面是的上侧，则注：2008年数一（12）解析：（

4、用高斯公式）作辅助面，取下侧。则由高斯公式得．由对称性得，，故．例3.计算曲面积分，其中是曲面的外侧。注：2014年数一（18）3解析：（用高斯公式），其中，，，由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，在内作封闭曲面（外侧），由高斯公式可得，上面就是考研数学（一）中的关于利用高斯公式计算曲面积分的方法之分析总结，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和重要题型的分析，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。3