应用高斯公式计算下列曲面积分

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1、1.应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中S是单位球面的外侧；（2），其中S是立方体表面的外侧；（3），其中S是锥面与平面z=h所围空间区域的表面，方向取外侧；（4），其中S是单位球面的外侧；（5），其中S是单位球面的外侧。分析：记住高斯公式，其中S取外侧．解：（1）因为，，，所以（2）（3），由柱面坐标变换知原式（4）（5）：增补平面使之成为一封闭体，并取下侧为正侧，原式2．应用高斯公式计算三重积分，其中V由与所确定的空间区域。分析：空间区域V如图：解：原式3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中L为与三坐标面的交线，它的

2、走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2），其中L为所交的椭圆的正向.(3),其中L为以为顶点的三角形沿ABCA的方向.分析：斯托克斯公式给出了双侧曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系，即其中S的侧与L的方向按右手定则解(1)记L为曲面S:的边界,如图由斯托克斯公式知原式且同理故原积分=0(2)视L为该椭圆的边界,则原式=由于曲面上任一点处的发向量中的，从而由定义知，因此，原式=0.(3)4.求下列全微分的原函数:(1);(2)分析：（1）因为，而，，，所以在内是某一函数的全微分解：(1)因,故原函数为:(2)分析：因为，而，，，所以在内是

3、某一函数的全微分。解法1：任取，则，其中为任意常数．解法2:由于故原函数为5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值;(1);(2),其中在球面上.分析：要验证线积分与路线无关，只需要验证被积表达式是某二元函数的全微分，即或验证解：(1)因在内有,所以所给曲线积分与路线无关,从而原积分(2)因在内有所以,所给曲线积分与路线无关,且6.证明：由曲面S所包围的立体V的体积为其中为曲面S的外法线方向余弦。分析：再利用高斯公式证明：故原公式成立.7.证明:若S为封闭曲面,为任何固定方向,则其中n为曲面S的外法线方向.分析：若为曲面S的外法线方向余弦

4、，有再利用高斯公式证明：设N和的方向余弦分别是和,则由一.二型曲面积分之间的关系可得=由的方向固定,都是常数,故,由奥高公式得原式=8.证明公式.其中s是包围V的曲面,n是s的外法线方向,分析：因为而,则由第一.二型曲面积分的关系及奥高公式可得。证明：故公式成立.9.若L是平面上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求其中L依正向进行.分析：利用第一,二型曲面积分之间的关系及斯托克斯公式进行计算。解：因.故由斯托克斯公式及得