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1、1．应用格林公式计算下列曲线积分；（1），其中L是以为顶点的三角形，方向取正向；（2），其中m为常数，AB为由到经过圆上半部的路线.分析：（1）首先应画出曲线L的图形，并求出AB，BC，CA的方程；（2）应用格林公式时，首先应是封闭曲线，因此（2）题应补上直线段OA解：（1）AB的方程为:,BC的方程为:CA的方程为:,设,则把三角形域分成两部分和,于是原式===(2)在轴上连接点与点这样就构成封闭的半圆形,且在线段上,于是而.由格林公式得:因此,原式=.2．应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1)星形线:(2)双纽线:分析：封闭曲线L：所围的面积公式是：解：(1)======
2、.（2）化双纽线的极坐标方程为参数方程应用面积公式并利用图形的对称性可得1．证明:若L为平面上封闭曲线,为任意方向向量,则其中为曲线L的外法线方向.分析：设与的方向余弦分别为与则，又证：设与的方向余弦分别为与则由第一、二型曲线积分的关系，有上式=由均为常数，故从而由格林公式知1．求积分值其中L为包围有界区域的封闭曲线，n为L的外法线方向。解===2S,其中T为L的切线方向，S为区域D的面积。2．验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路线；（4）沿不通过原点的路线；（5）其中为连续函数。分析：主要利用定理21.12中的四个等价条件的第（4）条来验证积分与路
3、线无关。求积分时可选择一条最简单的路线。解：（1）因P=所以P与Q满足定理条件，故积分与路线无关。于是，取路线为则有（2）因为所以.故由定理21.12知该积分与路线无关.因此(3)因，从而.因此,积分与路线无关,所以(4)当时是全微分,故积分与路线无关,且原式=(5)因为连续函数,则与分别是的原函数,于是可见,积分与路线无关,从而6.求下列全微分的原函数:(1)(2)(3)分析：先证明积分与路径无关。解(1)由于从而积分与路线无关.故其原函数为.(2)由于,从而积分与路线无关,因此被积式为全微分,设则.(3)易见积分与路线无关,令,则.7.为了使曲线积分与积分路线无关,可微函数应满足
4、怎样的条件?分析：利用定理21.12中的四个等价条件的第（4）条解：这里从而该积分与路线无关8.计算曲线积分,其中为连续函数,AMB为连接点和点的任何路线,但与直线段AB围成已知大小为S的面积.分析：AMB与BA构成封闭曲线，利用格林公式。解：,故原式=====.9.设函数具有一阶连续导数,证明对任何光滑封闭曲线L,有.证明：令,则均连续,故由格林公式可得10.设函数在由封闭的光滑曲线L所围成的区域D上有二阶连续偏导数，证明：，其中是沿L外法线方向的方向导数。证明：由于，，所以.由题知,在D上有连续导数,故由格林公式可得.因此
